2014届高三年级八校联合调研考试试卷

数学（文科）

一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

在复平面上，复数
对应的点到原点的距离为 ．

已知函数

的最小正周期是
，则
．

向量
在向量
方向上的投影为 ．

直线
过椭圆
的左焦点
和一个顶点
，则椭圆的方程为 ．

已知直线
的法向量为
，则该直线的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）

已知正数
满足
，则行列式
的最小值为 ．

阅读右边的程序框图，如果输出的函数值
在区间
内，则输入的实数
的取值范围是 ．

设
是一元二次方程
的两个虚根.若
，则实数
．

在△
中，
所对边分别为
.若
，则
．

已知数列
的首项
，其前n项和为
.若
，则
．

某地球仪上北纬
纬线长度为
cm，该地球仪的表面积为 cm2．

已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，
为抛物线
的焦点．若
，则实数
．

已知“
”是从
中取出4个元素的一个排列．设
是实数，若“
”可推出“
或
”，则满足条件的排列“
”共有_________个．

将
的图像向右平移2个单位后得曲线
，将函数
的图像向下平移2个单位后得曲线
，
与
关于
轴对称．若
的最小值为
且
，则实数
的取值范围为 ．

二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．

已知关于
的不等式
的解集为
. 若
，则实数
的取值范围为 　　（ ）

（
）
. （
）
. （
）
. （
）
.

函数
的反函数是　 　 　（ ）

（
）
. （
）
.

（
）
. （
）
.

已知
、
、
是单位圆上三个互不相同的点.若
，则
的最小值是（ ）

（
）
． （
）
． （
）
． （
）
．

已知公比为
的等比数列
的前
项和为
，则下列结论中：

（1）
成等比数列；

（2）
；

（3）

正确的结论为 （ ）

（
）（1）（2）． （
）（1）（3）． （
）（2）（3）． （
）（1）（2）（3）．

三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

在直三棱柱
中,
,
，求:

（1）异面直线
与
所成角的大小；

（2）四棱锥
的体积．

(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)

已知
，其中常数
．求证：

（1）当
时，
是奇函数；

（2）当
时，
的图像上不存在两点
、
，使得直线
平行于
轴．

（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知点
、
为双曲线
：
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的直线，在
轴上方交双曲线
于点
，
．

（1）求双曲线
的方程；

（2）过双曲线
上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
、
，求
的值．

（本题满分16分；第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分 ）

如图，制图工程师用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设
．

（1）试用
表示
的面积；

（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时
的大小．

（本题满分18分；第（1）小题６分，第（2）小题6分，第（3）小题６分）

在等差数列
和等比数列
中，
，
，
是
前
项和．

（1）若
，求实数
的值；

（2）是否存在正整数
，使得数列
的所有项都在数列
中？若存在，求出所有的
，若不存在，说明理由；

（3）是否存在实数
，使得数列
中至少有三项在数列
中，但
中的项不都在数列
中？若存在，求出一个可能的
的值，若不存在，说明理由．

2014届高三年级八校联合调研考试试卷

数学（文科）

填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

题号

1

2

3

4

5

6

7



答案



1







3





题号

8

9

10

11

12

13

14



答案

4









48







二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．

题号

15

16

17

18



答案

D

B

C

C



三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

在直三棱柱
中,
,
，求:

（1）异面直线
与
所成角的大小；

（2）四棱锥
的体积．

解：（1）因为
，所以
（或其补角）是异面直线
与
所成角. ………………1分

因为
,
,所以
平面
，所以
. ………………3分

在
中,
,所以
………………5分

所以异面直线
与
所成角的大小为
． ………………6分

（2）因为

所以
平面
……………9分

则
……………12分

20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)

函数
，其中常数
．求证：

（1）当
时，
是奇函数；

（2）当
时，
的图像上不存在两点A,B，使得直线AB平行于
轴．

证明：（1）由题意，函数定义域
， ……………1分

对定义域任意
，有：

……4分

所以
，即
是奇函数. ……………6分

（2）假设存在不同的
两点，使得
平行
轴，则

……………9分

化简得：
，即
，与
不同矛盾。 ……………13分

的图像上不存在两点，使得所连的直线与
轴平行 ……………14分

21.（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知点
、
为双曲线
：
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的直线，在
轴上方交双曲线
于点
．

（1）求双曲线
的方程；

（2）过双曲线
上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
、
，求
的值．

解： （1）设
的坐标分别为

因为点
在双曲线
上，所以
，即
，所以

在
中，
，
，所以
……3分

由双曲线的定义可知：

故双曲线
的方程为：
……6分

（2）由条件可知：两条渐近线分别为
……8分

设双曲线
上的点
，设两渐近线的夹角为
，则

则点
到两条渐近线的距离分别为
，……11分

因为
在双曲线
：
上，所以
，

又

所以

……14分

22.（本题满分16分；第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分 ）

如图，一制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设
．

（1）试用
表示
的面积；

（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时
的大小．

解：（1）设
为
,∴
， …………2分

， …………4分