虹口区2014届高三5月模拟考试（三模）

数学学科（理科）

（时间120分钟，满分150分）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
是第二象限角，则
是第 象限角．

分析： 一或三

2、复数满足
，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .

分析：
．

3、已知全集
，集合
,
,

若
，则实数的值为 .

分析：
，则

4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都

与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球

的体积之比为 .

分析： 设底面半径为，则它们的高

，
，
，

则
.

5、已知
，则
的值为 .

分析： 设
，即
，

则
.

6、定义在上的奇函数
，
，且当
时，
（
为常数），则
的值为 .

分析：
，
，则
,
，当
时，
，
.

7、公差不为零的等差数列
中，
，数列
是等比数列，且
，则
等于 .

分析： 等差数列
中，
，则
，

取
，
.

8、已知等差数列
的通项公式为
，则
的展开式中
项的系数是数列
中的第 项．

分析： 20

9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点
，极轴与轴的非负半轴重合.若直线
的极坐标方程为

，曲线
的参数方程为

为参数，且
，则直线
与曲线
的交点的直角坐标为 .

分析：
；注意参数方程中

10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .

分析：设取红球个，白球个，则

，取法为
.

11、棱长为1的正方体
及其内部一动点，集合
,则集合
构成的几何体表面积为 .

分析：
.

12、是双曲线
的右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值等于 .

分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，
，
，再根据双曲线的定义得
的最大值等于9.

13、设
为实数，且满足：
，

，则
.

分析：
，

令
，则
是递增函数，且

则
，即
.

14、在区间
上，关于的方程
解的个数为 ．

分析：令
，
，则
，

化为

考察
的上半圆与函数
的图象可知有一个公共点，

故关于的方程
有个解.

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、已知
为实数，若复数
是纯虚数，则的虚部为（ ）

、 、

、
、

分析：

则
，
，选
.

16、“
”是“函数
（
）在区间
上为增函数”的( )

、充分不必要条件 、必要不充分条件

、充要条件 、既不充分也不必要条件

分析：
时，
在
上为增函数；

反之，
在区间
上为增函数，则
，故选.

17、如果函数
在
上的最大值和最小值分别为
、，那么
.根据这一结论求出
的取值范围（ ）.

、
、


、
、

分析：求
在
上的最值，选.

18、如图，已知点
，正方形
内接于⊙
，
、
分别为边
、
的中点，当正方形
绕圆心
旋转时，
的取值范围是（ ）

、
、

、
、

分析：
且长度为1，可设
，
，然后用坐标求解.

也可以
，答案选
.

三、解答题（满分74分）

19、（本题满分12分）如图，直四棱柱
底面
直角梯形，
∥
，
，是棱
上一点，
，
，
，
，
.

（1）求异面直线
与
所成的角；

（2）求证：
平面
.

解：（1）以原点，
、
、
分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则
，
，
，
.………………3分

于是
,
,
,

异面直线
与
所成的角的大小等于
.…………6分

（2）过作
交
于
，在
中，
，
，则
，
，
，

，
………………10分

，
.又
，
平面
.……12分

20、（本题满分14分）已知数列
和
满足：
，其中
为实数，为正整数.

（1）对任意实数
，求证：
不成等比数列；

（2）试判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论.

解（1）证明：假设存在一个实数
，使
是等比数列，则有
,

即
矛盾.

所以
不成等比数列.…………………………6分

（2）因为

……………………9分

又
,

所以当
，
，(为正整数)，此时
不是等比数列：……11分

当
时，
，由上式可知
，∴
(为正整数) ，

故当
时，数列
是以
为首项，－
为公比的等比数列.…………14分

21、（本题满分14分）如图，
、是两个小区所在地，
、到一条公路
的垂直距离分别为

，

，
两端之间的距离为

.

（1）某移动公司将在
之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、
的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.

（2）环保部门将在
之间找一点
，在
处建造一个垃圾处理厂，使得
对
、所张角最大，试确定点
的位置.

解：（1）设
，
，
.

依题意有
，
.……………………3分

由
，得
，解得
，故点应选在距点2
处.…………6分

（2）设
，
，
.

依题意有
，
，

…………10分

令
，由
，得
，
，

………………12分

，
，

当
，所张的角为钝角，最大角当
，即
时取得，故点
应选在距点

处.………………14分

22、（本题满分16分）阅读：

已知、
，
，求
的最小值.

解法如下：
，

当且仅当
，即
时取到等号，

则
的最小值为
.

应用上述解法，求解下列问题：

（1）已知
，
，求
的最小值；

（2）已知
，求函数
的最小值；

（3）已知正数
、
、
，
，

求证：
.

解（1）
，

……………………………………2分

而
，

当且仅当
时取到等号，则
，即
的最小值为
.

…………………………5分

（2）
，

………………………………7分

而
，
，

当且仅当
，即
时取到等号，则
，

所以函数
的最小值为
.……………………10分

（3）

当且仅当
时取到等号，则
.………………16分

23、（本题满分18分）已知函数

常数
）满足
.

（1）求出的值，并就常数
的不同取值讨论函数
奇偶性；

（2）若
在区间
上单调递减，求
的最小值；

（3）在（2）的条件下，当
取最小值时，证明：
恰有一个零点且存在递增的正整数数列
，使得
成立.

解：（1）由
得
，解得
.

从而
，定义域为

当
时，对于定义域内的任意，有
，
为偶函数……2分

当
时，
从而
，
不是奇函数；
，
不是偶函数，
非奇非偶.………………4分

（2）对于任意的
，总有
恒成立，即
，得
.…………6分

，
，
，从而
.

又
，
，
的最小值等于
.………………10分

（3）在（2）的条件下，
.

当
时，
恒成立，函数
在
无零点.…………12分

当
时，对于任意的
，恒有
，

即
，所以函数
在
上递增，又
，
，

在
是有一个零点.

综上
恰有一个零点，且
……………………15分

，得
，

又
，故
，取
…………………………18分