2013学年浙江省第二次五校联考

数学（理科）试题卷

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;

2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

．

如果事件A，B相
互独立，那么

．

如果事件A在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率

．

球的表面积公式

，

其中R表示球的半径．

球的体积公式[来源:Zxxk.Com]

，

其中R表示球的半径．

棱柱的体积公式

，

其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高．

棱锥的体积公式

，

其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高．

棱台的体积公式

，

其中
分别表示棱台的上、下底面积，
表示棱台的高．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
是虚数单位，则
=

A．
B．
C．
D．

2．设集合
，
，则

A．
B.
C．
D．

3． 函数
的最小正周期为

A．
B．

C．
D．

4．
.则“
成等比数列”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．在
中，内角
的对边分别为
且
，则

的值为

A．
B．
C．
D．

6．在平面直角坐标系中，不等式
表示的平面区域的面积是

A．8 B．4 C．
D．

7．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直

观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其

中俯视图中椭圆的离心率为

A．
B．

C．
D．

8．如图，
是边长为2的等边三角形，
是边
上的

动点，
于
，则
的最小值为

A．
B．

C．
D．

9．已知椭圆C
:
，点
为其长轴
的6等分点，分别过这五点

作斜率为
的一组平行线，交椭圆C于
，则直线
这10条直线的斜率乘积为

A．
B．
C．
D．

10．下列四个函数:①
;②
;③
; ④
中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为

A．① ② ③ B．② ③ ④ C．① ② ④ D．① ③ ④

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．二项式
的展开式中
的系数为　　▲　　．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为　　▲　　．

13．若非零向量
，满足
，
，

则
　　▲　　．

14．已知函数
的最大值为1，

则
　　▲　　．

15．对任意
，都有
，
，

且
在
上的值域
．则
在
上

的值域为　　▲　　．

16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有　　▲　　种．

17．已知：长方体
，
，
为对角线
的中点，过
的直线与长方体表面交于两点
，
为长方体表面上的动点，则
的取值范围是　　▲　　．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个
球，记随机变量
为取出2球中白球的个数，已知
．

（Ⅰ）求袋中白球的个数；[来源:学科网ZXXK]

（Ⅱ）求随机变量
的分布列及其数学期望
．

19．（本题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，且
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

20．（本题满分15分）

如图，在四棱锥
中，四边形
是正方形，
，
，
分别为
的中点.

（Ⅰ）求证:平面
平面
;

（Ⅱ）求二面角
的平面角的大小.

21．（本题满分15分）

已知椭圆
：
的左焦点
，离心率为
，函数

，

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
，
，过
的直线
交椭圆
于
两点，求
的最小值，并求此时的
的值．

[来源:学科网]

22．（本题满分14分）

已知
，函数
（
为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
的最小值为
，求
的最小值．

2013学年浙江省第二次五校联考

数学（理科）答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．B； 2．B； 3．D；
4．
； 5．A；

6．
； 7．C； 8．C； 9．B； 10．D．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．
； 12．
；

13．2； 14． 0或
；

15．
； 16． 648； 17．
．

三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）

18. 解：（Ⅰ）设袋中有白球
个，则
，

即
，解得

．

（Ⅱ）随机变量
的分布列如下：

0

1

2















[来源:学.科.网]

．

19.解:（Ⅰ）
时,

所以

（Ⅱ）

[来源:学科网ZXXK]

20
. 解：（Ⅰ）因为
分别为
中点,所以
,

又因为
是正方形,
,所以
,所以
平面
.

因为
分别为
中点,所以
,所以
平面
.

所以平面
平面
.

（Ⅱ）法1.易知
,又
,故
平面

分别以
为
轴和
轴,建立空间直角坐标系(如图)

不妨设

则
,

所以

设
是平面
的法向量,则

所以
取
,即

设
是平面
的法向量,则

所以
取

设二面角
的平面角的大小为

所以
,二面角
的平面角的大小为
.

法2. 取
中点,联结
则
,又
平面
,
,所
以
平面
,所以
平面
,所以
,
.

因为
,则
,所以
平面
.

又因为
,所以

所以
就是二面角
的平面角的补角.

不妨设
,则

,
,
.

所以二面角
的平面角的大小为
.

21. 解：（Ⅰ）
,由
得
,椭圆方程为

（Ⅱ）若直线
斜率不存在,则

=

设直线
,

由
得

所以

故
的最小值为
,此时
.

22. 解:（Ⅰ）
时,
,

当
时,

当
时,

所以
的单调减区间为
单调增区间为
.

（Ⅱ）由题意可知:
恒成立,且等号可取.

即
恒成立,且等号可取.

令

由
得到
,设
,

当
时,
;当
时,
.

在
上递减,
上递增.所以

当
时,
,即
,

在
上,
,
递减;

在
上,
,
递增.

所以

设