山西大学附中

2013-2014年高三下学期第一次月考

数学试题（理）

考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1.已知
为虚数单位,则
的实部与虚部的乘积等于( )

A.
B.
C.
D.

2．集合
=
，集合
=
，则
( )

A.
B.
C.
D.

3．已知
与
之间的一组数据如下表：则
与
的线性回归

方程
必过 ( )

0

1

2

3





1

3

5

7



A．点
B．点

C．点
D．点

4．右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这

三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四

个选项中的（ ）

A.
B.
C.
　 D.
　

5．已知正项数列
中，
，
，

，则
等于（ ）

A．
B．4 C．8 D．16

6．设
是空间三条直线，
是空间两个平面，

则下列命题中，逆命题不正确的是（ ）

A．当
时，若
，则

B．当
时，若
，则

C．当
且
是
在
内的射影时，若
，则

D．当
且
时，若
，则

7．若点
满足
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．使奇函数
在
上为减函数的
值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．现有4名教师参加说课比赛，共有4个备选课题，若每位选手从中有放回地随机选出一个课题进行说课，其中恰有一个课题没有被这4位选中的情况有( )

A. 288种 B. 144种 C. 72种 D. 36种

10.矩形
中,
为
的中点,
为边
上一动点,则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．1

11．已知函数
实数
满足
若实数
为方程
的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )

A．
<
B．
>
C．
<
D．
>

12．设
、
是双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点
，使
（
为坐标原点），

且
，则双曲线的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位
），

则该几何体的表面积为 .

14.设
，则二项式

展开式中含
项的系数是 .

15．在△
中，
、
、
分别为
、
、
的对边，

三边
、
、
成等差数列，且
，则
的值为 ．

16．给出以下四个命题：

①设
,
，则
的充分不必要条件；

②过点
且在
轴和
轴上的截距相等的直线方程是
；

③若函数
与
的图像关于直线
对称，则函数
与
的图像也关于直线
对称；

④若直线
和直线
垂直，则角

其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本题满分12分）数列
的前
项和为
，数列
的前
项的和为
，
为等差数列且各项均为正数，
，

，

（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ）若
，
，
成等比数列，求
．

18．（本题满分12分）为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选。假定某基地有4名武警战士（分别记为
、
、
、
）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为
.这三项测试能否通过相互之间没有影响.

（Ⅰ）求
能够入选的概率；

（II）规定：按入选人数得训练经费（每入选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望.

19．（本题满分12分）如图，
、
分别是正三棱柱
的棱
、
的中点，且棱
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）在棱
上是否存在一点
，使二面角
的大小为
，若存在，求
的长；若不存在，请说明理由.

20．（本题满分12分）已知抛物线
，过点
的直线
与抛物线交于
、
两点，且直线
与
轴交于点
.

（Ⅰ）求证:
、
、
成等比数列；

（Ⅱ）设
，
，试问
是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

21．(本小题满分12分) 已知函数
满足
，且当

，
时，
的最大值为
.

（Ⅰ）求
函数
的解析式；

（Ⅱ）是否存在实数
使得不等式
对于
时恒成立？若存

在，求出实数
的取值集合；若不存在，说明理由．

请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系
，以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
点的极坐标为
，曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）写出点
的直角坐标及曲线
的普通方程；

（Ⅱ）若
为
上的动点，求
中点
到直线
(
为参数）距离的最小值.

23.（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数

.

（Ⅰ）若
.求证：
；

（Ⅱ）若满足
，试求实数
的取值范围

2013-2014年高三下学期第一次月考数学（理）答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1.A. 2．D.3．D．4．C. 5．B． 6．B．7．A. 8．D. 9． B. 10. C． 11．D．12．C．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

13.
14.-192 15．
16．①③

三、解答题

17．解：（Ⅰ） 当
时，

∴
，即

又
∴
是公比为3的等比数列

（Ⅱ）由（1）得：

设
的公差为
（
）， ∵
，∴

依题意有
，
，

∴
即
，得
，或
（舍去）

故

18．解：（I）设
通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P则
能够入选包含以下几个互斥事件：

（4分）

（Ⅱ）记
表示该训练基地得到的训练经费,则
的取值为0、3000、6000、9000、12000.

0

3000

6000

9000

12000



P















的分布列为

（元） （12分）

19．【法一】（Ⅰ）在线段
上取中点
，连结
、
.

则
，且
，∴
是平行四边形……2′

∴
，又
平面
，
平面
，∴
平面
.……4

又∵
，∴二面角
大于
. ……11′

∴
在棱
上时，二面角
总大于
.

故棱
上不存在使二面角
的大小为
的点
. ……12′

20.解：（I）设直线
的方程为：

，

联立方程可得
得:
①

设
，
，
，则
，
②

，

而
，

∴
，即
，
、
成等比数列 …………6分

（Ⅱ）由
，
得
，

即得：
，
，则

由(1)中②代入得
，故
为定值且定
值为
…………12分

21．解:（1）由已知得：
……………1分

∴
………3分

∴
，

，∴
，

∴当
，

当
，

∴
，∴
---------5分

∴当
时，
…………6分

（2）由（1）可得：
时，不等式
恒成立， 即为
恒成立，

当
时，
，

令
则

令
，则当
时，

∴
，∴
，

∴
，故此时只需
即可；----9分

当
时，
，

令
则

令
，则当
时，

∴
，∴
，

∴
，故此时只需
即可， ………………11分

综上所述：
，因此满足题中
的取值集合为：
………………12分

22.

23.解：（Ⅰ）

...2分

.5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，
在
为单调增函数.

且

..7分

当
时，
；

当
时，
；

当
时，

综上所述：
..........10分