2014江西高考压轴卷

理科数学（江西卷）

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数
，则
等于

A．-2+2i

B．2i

C．-2-2i

D．-2i



2．函数
的值域是

A．

B．



C．

D．



3．已知等差数列
的公差为
，且
，若
，则m的值为

A．12

B．8

C．6

D．4



4．已知样本：

10

8

6

10

13

8

10

12

11

7



8

9

11

9

12

9

10

11

12

11



那么频率为0.2的范围是

A．5.5 ~ 7.5

B．7.5 ~ 9.5

C．9.5 ~ 11.5

D．11.5 ~ 13.5



5．在
的展开式中，x3的系数为

A．

B．

C．

D．



6．由曲线
，直线
及y轴所围成的封闭图形的面积为

A．

B．



C．4

D．6



7．如图，若程序框图输出的S是126，则判断框①中应为?

A．

B．



C．

D．





8．已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

A．4 cm3

B．5 cm3



C．6 cm3

D．7 cm3



9．若抛物线y2 = 2px（p>0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p的值为

A．2 B．18 C．2或18 D．4或16

10．不等式组
表示的平面区域是三角形，则a的取值范围是

A．a ≥ 0或-10 < a ≤ -6

B．-10 < a ≤ -6



C．-10 < a < -6

D．a ≥ 0



第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中的横线上。

11．若向量a，b满足
，
，且a与b的夹角为
，则
__________。

12．若
，则
__________。

13．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

14．双曲线
中，F为右焦点，A为左顶点，点B
且AB⊥BF，则此双曲线的离心率为__________。

三、选考题：考生只能从中选做一题，两题都做的，只记前一题的分。本小题5分。

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系。则曲线C的普通方程为__________。

（2）（不等式选做题）

设函数
，当
时，求不等式
的解集为__________。

四、解答题：

16．（本小题满分12分）

三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且
。

（1）求内角B的余弦值；

（2）若
，求ΔABC的面积。

17．设数列
的前n项和为
，已知
，

（1）设
，证明数列
是等比数列

（2）求数列
的通项公式。

18．（本小题满分12分）

实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核为优秀，授予20分降分资格。假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
、
、
，他们考核所得的等次相互独立。

（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；

（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得的降分之和为随机变量
，求随机变量
的分布列和数学期望
。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA = AB = BC = 2，AD = 1。M是棱SB的中点．

（1）求证：AM∥面SCD；

（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（3）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值。

20．（本题满分13分）

如图，
是抛物线为
上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA=SB。

（1）求证：直线CD的斜率为定值；

（2）延长DC交x轴于点E，若
，求
的值。

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
时，求
的单调递减区间；

（2）若当
时，
恒成立，求的取值范围；

（3）求证：

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

D

C

A

B

A

C

A



二、填空题

11．

12．

13．4π

14．



三、选做题

15．（1）
或
； （2）
。

四、解答题

16．解：(Ⅰ)

……………………….2分

………………………4分

又因为

所以
……………………….6分

(Ⅱ)
……………………….8分

又因为
……………………….10分

所以
……………………….12分

17．解：

（1）由
及
，有

由
，．．．① 　则当
时，有
．．．．．②

②－①得

又
，

是首项
，公比为２的等比数列．

（2）由（1）可得
，

　　　数列
是首项为
，公差为
的等比数列．

　　　
，

18．解：

（1）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E．

则事件A、B、C是相互独立事件，事件
与事件E是对立事件，于是

．　　　　　　　　　　　　　　……4分

（2）
的所有可能取值为
．

，

，　　　　　　　　……6分

，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

所以
的分布列为

30

40

50

60



P












．　　　　　　　　　　　……12分

19．解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
，
，
，
，
.

则
.

设平面SCD的法向量是
则

即

令
，则
，于是
.

，
.

AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为
.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，

则
，即
.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.………………………………（8分）

（Ⅲ）设
，则
.

又，面SAB的法向量为
，

所以，
.

.

当
，即
时，
.…………………………………………（14分）

20．（1）将点（1，1）代入
，得

抛物线方程为
---- 1分

设
，

与抛物线方程
联立得：
---- 2分

----- 3分

由题意有
，

-----4分

-----5分

（2）设

------ 7分

----8分

同理
----10分

----- 12分

----- 13分

21．（Ⅰ） 当
时

的单调递减区间为
………………………………… 4分

（Ⅱ） 由
得

记

当
时

在
递减

又

………………………………………………………… 8分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知

取
得
即

…… 12分