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南京师大附中2014届高三模拟考试

数 学 2014.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：锥体的体积公式为V＝Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝ ▲ ．

2．若复数 (i是虚数单位)为纯虚数，则实数a＝ ▲ ．

3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得

的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图

形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为 ▲ ．

4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ ．

5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，

从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．

6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，

则“α⊥β”是“m⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、

“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

7．函数
的单调增区间是 ▲ ．

8．设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，

则实数b的值为 ▲ ．

9．设a，b均为正实数，则
的最小值是 ▲ ．

10．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f(1)＜f(lg(2x))的x的取值范围是 ▲ ．

11．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则·

的值为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的

圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角

形，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．

13．对于定义域内的任意实数x，函数f(x)＝的值恒为正数，则实数a的取值范围是 ▲ ．

14．记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n

都成立，则实数m的最大值为 ▲ ．

二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．

（1）求角的值；

（2）若角
，
边上的中线
=
，求
的面积．

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD

的中点．

（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（2）求证：CE∥平面PAB．

17．（本小题满分14分）

某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．

（1）求实数a，b的值；

（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN

的面积为S，求S的取值范围；

（3）求证：点G在一条定直线上．

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.

（1）若a4＝b3，b4－b3＝m.

①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；

②若数列{bn}是唯一的，求m的值；

（2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最

大值.

20．（本小题满分16分）

设a是实数，函数f(x)＝ax2＋(a＋1)x－2lnx．

（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

（2）当a＝2时，过原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切点的横坐标；

（3）设定义在D上的函数y＝g(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0 时，

若＜0在D内恒成立，则称点P为函数y＝g(x)的“巧点”．当a＝－时，

试问函数y＝f(x)是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说

明理由．

南京师大附中2014届高三模拟考试

数 学（附加题） 2014.05

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．（几何证明选讲选做题）

如图，设
、
是圆的两条弦，直线
是线段

的垂直平分线．已知
，求线段
的长度．

B．（矩阵与变换选做题）

设矩阵A
，矩阵A属于特征值
的一个特征向量为
，属于特征值

的一个特征向量为
，求ad－bc的值．

C．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A，

B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，求线段AB的最小值．

D．（不等式选做题）

设a，b，c均为正数， abc＝1．求证：＋＋≥＋＋.

22．【必做题】

在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，
，4，现从这个盒

子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．

（1）求P(ξ＝1)；

（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

23．【必做题】

有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，

使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．

（1）若m＝100，直接写出选法种数；

（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an．当n≥2时，求数

列{an}的通项公式．

南京师大附中2014届高三模拟考试

数学参考答案及评分标准

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．

1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．； 6．必要不充分；

7．[－,0]； 8．； 9．4； 10．(0，)∪(5，+∞)； 11．24；

12．（0，）； 13．－7＜a≤0或a＝2； 14．．

二、解答题：

15．解析:（1）因为
，由正弦定理

得
， ………………2分

即
=sin(A+C) ． ………………4分

因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，

所以
．

因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，

所以
，因为
，所以
． ………………7分

（2）由（1）知
，所以
，
． ………………8分

设
，则
，又

在△AMC中，由余弦定理

得

即
解得x＝2. ………………12分

故
………………14分

16．解析: （1）因为PA⊥平面ABCD，CD(平面ABCD，所以PA⊥CD， ………2分

又∠ACD＝90°，则
，而PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC，因为CD(平面ACD， ………………4分

所以，平面PAC⊥平面PCD．　 ………………7分

证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．

因为EM平面PAB，PA
平面PAB，

所以EM∥平面PAB． 　 ………………9分

在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，

又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM，

则MC∥AB．

因为MC平面PAB，AB
平面PAB，

所以MC∥平面PAB．

………………12分

而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．

由于EC
平面EMC，从而EC∥平面PAB． ………………14分

证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．

因为∠NAC＝∠DAC，AC⊥CD，

所以C为ND的中点．

而E为PD中点，所以EC∥PN．

因为EC平面PAB，PN
平面PAB，

所以EC∥平面PAB．

………………14分

17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．

设正三棱锥侧面的高为h，高为h ．

由题意得：x＋h＝10，解得h＝10－x．　

………………2分

则h＝＝

＝ ，x∈(0,10) ． ………………5分

所以，正三棱锥体积V＝Sh＝×x2×

＝． ………………8分

设y＝V2＝(100－x)＝－，

求导得y′＝－ ，令y′＝0，得x＝8， ………………10分

当x∈(0，8)时，y′＞0，y随着x的增加而增大，

当x∈(8，10)时，y′＜0，y随着x的增加而减小，

所以，当x＝8 cm时，y取得极大值也是最大值． ………………12分

此时y＝15360，所以Vmax＝32 cm3．

答：当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3． ………………14分

18．解析: （1）由题设可知a＝2． ………………1分

因为e＝，即＝，所以c＝．

又因为b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以b＝1． ………………2分

（2）由题设可知，椭圆的方程为＋y2＝1，直线MN的方程为y＝x－1．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组，消去y可得5x2－8x＝0，

解得x1＝0，x2＝．

将x1＝0，x2＝，代入直线MN的方程，解得y1＝－1，y2＝．

所以MN＝＝． ………………4分

设与直线MN平行的直线m方程为y＝x＋λ．

联立方程组，消去y可得5x2＋8λx＋4λ2－4＝0，

若直线m与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±． ……………6分

当直线m为y＝x－时，直线l与m之间的距离为d1＝＝；

当直线m为y＝x＋时，直线l与m之间的距离为d2＝＝； ………………8分

设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，

则需满足d1＜d＜d2，即＜d＜．

因为S＝d·MN＝d，所以＜S＜． ………………10分

（3）方法一 设直线A1M的方程为y＝k1(x＋2)，直线A2N的方程为y＝k2(x－2)．

联立方程组，消去y得(1＋4k12)x2＋16k12x＋16k12－4＝0，

解得点M的坐标为(，)．

同理，可解得点N的坐标为(，)． ………………12分

由M，D，N三点共线，有＝，化简得(k2－3k1)(4k1k2＋1)＝0．

由题设可知k1与k2同号，所以k2＝3k1． ………………14分

联立方程组，解得交点G的坐标为(，