南京市2014届高三数学综合题

一、填空题

1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为　　　　　　　　．

【答案】{，，1}．

【提示】由题意知，即，其中kZ，则k＝或k＝ 或k＝1．

【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．

2．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－12，则·＝　　　　．

【答案】0．

【提示】以，为基底，则＝＋，＝－，

则·＝2－·－2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，

所以cos∠BAD＝，则∠BAD＝60o，

则·＝·(－)＝·(－)＝2－·＝4－4＝0．

【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．

3．设α 、β为空间任意两个不重合的平面，则：

①必存在直线l与两平面α 、β均平行； ②必存在直线l与两平面α 、β均垂直；

③必存在平面γ与两平面α 、β均平行； ④必存在平面γ与两平面α 、β均垂直．

其中正确的是___________．（填写正确命题序号）

【答案】①④．

【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．

【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．

4．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是______．

【答案】π．

【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知＝π，且·2πr·l＝2π，解得l＝2，r＝，所以圆锥高h＝1，则体积V＝πr2h＝π．

【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．

5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．

【答案】x＋y－2＝0．

【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．

6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为 ．

【答案】－＝1．

【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．

7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，

0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是___________．

【答案】．

【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，

由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝．

【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．

*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则的取值范围是_________．

【答案】[－，]．

【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b－c)≤1，

于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，

则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，＝y－x．

在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t．

如图，当直线y－x＝t与曲线y＝x2相切时，t最小．

此时令y′＝2x＝1，解得x＝，于是y＝，所以tmin＝－＝－．

当直线过点A时，t最大．由解得A(，)，

所以tmax＝－＝．

因此的取值范围是[－，]．

【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．

9．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列， 则正数q的取值集合是 ．

【答案】{，}．

【提示】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{an}的公差为d，则

若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q，即2q＝1＋q，

整理得q(q－1)＝(q－1)(q＋1)．

又q≠1，则可得 q＝q＋1，又q＞0解得q＝；

若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q，即2q＝1＋q，整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1．

又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝．

综上所述，q＝．

【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．

*10．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2 (n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于___________．

【答案】16．

【提示】设{an}的公差为d，由a12＝a5＞0得 a1＝－d，d＞0，所以an＝(n－)d，

从而可知1≤n≤16时，an＞0， n≥17时，an＜0．

从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b 15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，

故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．

因为a15＝－d＞0，a18＝d＜0，所以a15＋a18＝－d＋d＝d＜0，

所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故Sn中S16最大．

【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．

二、解答题

11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且sinB＝．

(1)若cosA＝，求sinC的值；

(2)若b＝，sinA＝3sinC，求三角形ABC的面积．

解 (1)由sinB＝，两边平方得2sin2B＝3cosB，

即2(1－cos2B)＝3cosB，解得cosB＝或cosB＝－2(舍去)．

又B为三角形内角，则B＝．

因为cosA＝，且A为三角形内角，则sinA＝，

故sinC＝sin(B＋A)＝sin(＋A)＝ cosA＋sinA＝．

(2)解法一　因为sinA＝3sinC，由正弦定理可得a＝3c．

由余弦定理知：b2＝ a2＋c2－2accosB，则7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，则a＝3．

面积S＝acsinB＝．

解法二 由sinA＝3sinC得sin(C＋B)＝3sinC，即sin(C＋)＝3sinC，则sinC＋cosC＝3sinC，

即cosC＝sinC，故可得tanC＝．

又C为三角形的内角，则sinC＝．

由正弦定理知＝，则c＝1．

又sinA＝3sinC＝，故面积S＝bcsinA＝．

【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．

12．三角形ABC中，三内角为A、B、C，a＝(cosA，sinA)，b＝(cosB，sinB)，c＝(1，－1)．

(1)若a·c＝1，求角A的大小；

(2)若a//b，求当A－B取最大时，A的值．

解 (1)a·c＝cosA－sinA＝2cos(A＋)＝1，则cos(A＋)＝．

因为A∈(0，π)，则A＋∈(，)，则A＋＝，则A＝．

(2)因为a//b，所以cosA·sinB＝sinA·cosB，则tanA＝3tanB．

由于A、B为三角形内角，则A、B只能均为锐角，即tanA＞0，tanB＞0．

tan(A－B) ＝ ＝＝≤＝，

当且仅当＝3tanB时，B＝取“＝”号．

又A－B∈(－，)，则A－B的最大值为，此时A＝．

所以，当A－B的最大时，A＝．

【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．

13．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．

(1)求证：AE //面DBC；

(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．

证明 (1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．

因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO (面DBC，

所以DO⊥面ABC．

又AE⊥面ABC，则AE//DO．

又AE  面DBC，DO (面DBC，故AE // 面DBC．

(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB(面ABC，所以DO⊥AB．

又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC(平面DBC，则AB⊥面DBC．

因为DC (面DBC，所以AB⊥DC．

又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB(面ABD，则DC⊥面ABD．

又AD( 面ABD，故可得AD⊥DC．

【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．

14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，AB＝2，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．

(1)求证：N为AC中点；

(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．

解 (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，

平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN// A1B1．

因为AB// A1B1，所以MN//AB，所以＝．

因为M为AB的中点，所以＝1，所以N为AC中点．

(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．

在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝，

故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．

在三角形ABC中，AB＝2，AC＝2，BC＝4，

则BC2＝AB2＋AC2，从而可得∠BAC=90o，即AB⊥AC．

又MN//AB，则AC⊥MN．

因为MN∩A1N＝N，MN (面A1B1MN，A1N(面A1B1MN，

所以AC⊥平面A1B1MN．

又AC(平面A1ACC1，所以平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．

【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．

15．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②x∈(0，]，其中m是常数．若x＝时，y＝a3．

(1)求产品增加值y关于x的表达式；

(2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值．

解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，因为当x＝时，y＝a3，所以k＝8，

所以f(x)＝8(a－x)x2 ，x∈(0，]．

(2)因为f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，则x＝0(舍)，x＝．

①当≥，即m≥1时，

当x∈(0，)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，)上是增函数，

当x∈(，)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(，)上是减函数，

所以ymax＝f()＝a3；

②当＜，即0＜m＜1时，

当x∈(0，)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，)上是增函数，

所以ymax＝f()＝a3，

综上，当m≥1时，投入万元，最大增加值a3．

当0＜m＜1时，投入万元，最大增加值a3．

【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．

16．如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为．设S的眼睛距地面的距离按米．

(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

解 (1) 如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．

又SA＝，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．

由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中，可求得OC＝．

因为BC＝SA＝，故OB＝2，即立柱高为2米.

(2) 方法一：连结SM，SN，设ON＝a，OM＝b．

在△SON和△SOM中，

＝－，得a2＋b2＝26．

cos∠MSN＝＝≥＝＞．

又∠MSN∈(0，π)， 则∠MSN＜．

故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．

方法二提示:设∠MOS＝θ，建立cos∠MSN关于θ的关系式，求出cos∠MSN最小值为，从而得到∠MSN＜．

方法三提示:假设∠MSN＝，设ON＝a，OM＝b，联立a2＋b2＝26和a2＋b2－ab＝4消元，判断方程是否有解．

方法四提示：计算过S点作圆O(1为半径)的两切线夹角大于60o．也可合理建系．

【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．

17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所

示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2＝2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．

(1)求灯罩轴线所在的直线方程；

(2)若路宽为10米，求灯柱的高．

解：(1)由题意知，BF＝，则xA＝1.5＋＝2，

代入y2＝2x得yA＝2，故A(2，2)．

设点A处的切线方程为y－2＝k(x－2)，

代入抛物线方程y2＝2x消去x，得ky2－2y＋4－4k＝0．

则△＝4－4k(4－4k)＝0，解得k＝．

故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y－2＝－2(x－2)，即y＝－2x＋6．

（2）由于路宽为10，则当x＝