2014广东省高考压轴卷文科数学

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
为锥体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．函数
的定义域是

A．
B．

C．
D．

3．若复数
，
，则

A．
B．

C．
D．

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．
B．
C．
D．

5．已知平面向量
，
，且
，则

A．
B．
C．
D．

6．阅读如图1的程序框图，若输入
，则输出
等于

A．8

B．12

C．20

D．30

7．“
”是“
”成立的

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件

D．充要条件

8．以点
为圆心且与直线
相切的圆的方程是

A．

B．

C．

D．

9．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是

A．
B．

C．
D．

10．已知变量，满足约束条件
，目标函数
仅在点
处取得最小值，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．在等差数列
中，已知
，
，则
_________．

12．某校高三年级共1200人．学校为了检查同学们的健康状况，随机抽取了高三年级的100名同学作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为[40,45），[45,50），[50,55），（55,60），[60,65]，由此得到样本的频率分布直方图，如图3．根据频率分布直方图，估计该校高三年级体重低于50公斤的人数为_________．

13．已知
分别是
的三个内角
所对的边，若
，
，
，则
_________．

（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系

中，曲线
与
的交点的极坐标为________．

15．（几何证明选讲选做题）如图4，圆
和圆
相交于
两点，过作两圆的切线分别交两圆于
两点，已知
，则
_________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数
，
.

（1）求
的值；

（2）求
的最小正周期；

（3）设
，
，
．求
的值．

17．（本小题满分13分）

某校高二年级在3月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：











文科考生

60

35

19

6



理科考生

90

55



9



已知在全体考生中随机抽取1名，抽到理科考生的概率是
.

（1）求的值；

（2）图5是文科考生不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名文科考生的语文成绩的平均分、中位数；

（3）在（2）中的6名文科考生中随机地选2名考生，求恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率．

18．（本小题满分14分）

如图6，四棱锥
中，
，
，
，
，
，
，为
上一点，
，
．

(1) 证明：
；

(2) 求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分12分）

数列
的首项为1，且前项和
满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前项和
．

20．（本小题满分14分）

已知点
，点
是关于原点的对称点．

（1）若椭圆
的两个焦点分别为，
，且离心率为
，求椭圆
的方程；

（2）若动点到定点的距离等于点到定直线
的距离，求动点的轨迹
的方程；

（3）过点
作（2）中的轨迹
的切线，若切点在第一象限，求切线的方程．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）讨论
的单调性；

（2）求函数
在区间
上的最小值
．

2014广东省高考压轴卷

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】A

【解析】
．

2．【答案】D

【解析】∵
，∴
，∴函数
的定义域是
．

3．【答案】B

【解析】
．

4．【答案】C

【解析】A是奇函数但不是增函数；B既不是奇函数也不是偶函数；C既是奇函数又是增函数；D是偶函数．

5．【答案】D

【解析】 ∵
，∴
，∴
，∴
．

6．【答案】C

【解析】根据程序框图，
．

7．【答案】A

【解析】∵
，∴
或
，∴“
”是“
”成立的充分非必要条件．

8．【答案】B

【解析】∵圆心到直线的距离为
，∴所求圆的方程是
．

9．【答案】A

【解析】根据三视图，该几何体为
个圆锥，且底面半径为，高为
．∴体积是
．

10．【答案】D

【解析】画出可行域（如图），目标函数向上平移至点
时，取得最小值，∴
，∴
．



二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

11．【答案】

【解析】∵
，∴
，∴
．

12．【答案】480

【解析】估计该校高三年级体重低于50公斤的人数为
．

13．【答案】2

【解析】根据余弦定理可得
，解得
．

14．【答案】

【解析】
化为直角坐标方程
，
化为直角坐标方程
．联立解方程组
，解得
，∴
，又
，∴
．∴交点的极坐标为
．

15．【答案】

【解析】由
与圆
相切于，得
，同理
，

所以
∽
，∴
，即
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分13分）

解：（1）
． …………………………………2分

（2）
的最小正周期是
． ……………………………………………4分

（3）∵
，∴

∵
，∴

∵
，

∴
，

∴

． ………………………13分

17．（本小题满分13分）

解：（1）依题意
，∴
． …………………3分

（2）这6名文科考生的语文成绩的平均分为

中位数为
……………………………………………………………7分

（3）从6名文科考生中随机地选2名考生，基本事件有：（111,120），（111,125），（111,128），（111,132），（111,134），（120,125），（120,128），（120,132），（120,134），（125,128），（125,132），（125,134），（128,132），（128,134），（132,134）．共15种．

记“恰有一名考生的语文成绩在130分以上”为事件A，其中有（111,132），（111,134），（120,132），（120,134），（125,132），（125,134），（128,132），（128,134）．共8种．

∴恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率为
． ………………………13分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：过作
的垂线交
于，则
，
，

在
中，
，

在
，
．

在
，∵
，∴

∵
，
，∴

又

∴
……………………………………………………………………………8分

（2）解：∵
，
，

∴四边形
是梯形，

∴
，

∴
．

∴

． …………………………………14分

19．（本小题满分12分）

解：（1）∵
．

∴数列
构成一个首项为1，公差为1的等差数列

∴

∴

当
时，

当
时，
，符合上式

∴
． …………………………………………………………………………………6分

（2）∵

∴
①

①×2得
②

②－①得

…………………………………………………12分

20．（本小题满分14分）

解：（1）依题意，设椭圆
的方程为

∵

∴

∴椭圆
的方程为
………………………