广东省佛山市2014届高三教学质量检测（二）

数学理试题

一、选择题

1、复数
（其中为虚数单位），
为的共轭复数，则下列结论正确的是

A、
B、
C、
D、

2、已知
，若
，则实数的取值范围为

A、
B、
C、
D、

3、下列函数为奇函数的是

A、
B、

C、
D、

4、若变量
满足约束条件
，则
的取值范围是

A、
B、

C、
D、

5、已知双曲线
的渐进线与实轴的夹角为
，

则双曲线的离心率为

A、
B、

C、
D、

6、如右图是求
的程序框图，则在判断框内应填的条件可以是

A、
B、

C、
D、

7、已知p：“
是方程
的一个根”，q：“
”，则p是q的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充分必要条件 D、既不充分也不必要

8、若集合M,N满足
，则称
是集合的一组双子集拆分，规定：
和

是的同一组双子集拆分，已知集合
，那么的不同双子集拆分共有

A、16组 B、15组 C、14组 D、13组

二、填空题

（一）必做题

9、不等式
的解集为

10、记函数
的反函数为
，则函数
在区间
上值域为

11、某正三棱锥的三视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积为

12、已知等差数列
的前n项和为
，且
，则
的值为

13、在圆O中，长度为
的弦AB不过圆心，则
的值为

（二）选做题

14、（坐标系与参数方程）已知曲线
与曲线

有且只有一个公共点，则实数
的取值范围为

15（几何证明选讲）如图所示，圆O是
的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，已知
,则AC的长为

三、解答题

16、已知函数
，
.

（1）求函数
的最小正周期；（2）若
，
，求
.

17、“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利。为了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄在20~80岁之间的60人，并按年龄层次
，
，
，
，
，
绘制频率分布直方图如图所示，其中参与了2014年“行通济”活动的人数如下表。若规定年龄分布在
岁的为“中青年人”，60岁以上（含60岁）为“老年人”.

（1）根据已知条件完成下面的
列联表，并判断能否有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗？

“老年人”人数

“中青年人”人数

合计



有参与









没有参与









合计









（2）用样本估计总体，从全佛山市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

参考公式：
，其中

下面的临界值表供参考：

0.10

0.05

0.025

0.010





2.706

3.841

5.024

6.635





18、如图所示，在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）
中，
为
的中点，
平面
，
平面
，且
，
.

（1）求证：
平面
；（2）求二面角
的余弦值.

19.已知焦点为,准线为
的抛物线：
经过点
，其中
是抛物线上两个动点，
为坐标原点。

（1）求抛物线的方程。

（2）若
,求线段
的中点的轨迹方程。

（3）若
,线段
的中点
,点
在直线
上的投影为
，求
的最大值。

20.已知等比数列
满足
，且
成等差数列。数列
满足

（1）求数列
和
的通项公式。

（2）求证：

21.已知函数
。直线
经过点
且与曲线
相切。

（1）求切线
的方程。

（2）若关于的不等式
恒成立，求实数的最大值。

（3）设
，若函数
有唯一的零点
，求证
。