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2013学年浙江省第二次五校联考 数学（文科）试题卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，且，那么的值可以是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是 “”的( ) A．必要而不充分条件 B．充要条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，，，，，则图中的值等于 A． B． C． D． 4．已知的图像与的图象的两相邻交点间的距离为要得到的图像，只需把的图像 （ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D． 向左平移个单位 5．下列命题正确的是( ) A．若平面不平行于平面，则内不存在直线平行于平面 B．若平面不垂直于平面，则内不存在直线垂直于平面 C．若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线 D．若直线不垂直于甲面，则内不存在直线垂直于直线 6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．126 B．105 C．91 D．66 7．若且则的值为 （ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数， 其中，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．用表示非空集合中的元素个数，定义 若，设， 则等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．分别在集合和中随机的各取一个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为 ； 12．一个几何体的三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，俯视图是半圆和正方形，则这个几何体的体积为 . 13．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 条。 14．若实数满足不等式组，则的最大值是 15．已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，那么= 16．已知为的外心，.若, 则＝ 17．设，则的最小值为 [来源:Z&xx&k.Com] 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）中，三个内角A、B、C所对的边分别为、、，若，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）已知的面积为，求函数的最大值. 19．（本题满分14分）已知等差数列数列的前项和为，等比数列的各项均为正数，公比是，且满足：. （Ⅰ）求与； （Ⅱ）设，若满足：对任意的恒成立， 求的取值范围. [来源:学&科&网]
20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是BD的中点. （Ⅰ）求证：EC//平面APD； （Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值； （Ⅲ）求二面角的的正弦值． 21．（本题满分l5分)已知函数。 (Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （Ⅱ）若函数在其导函数的单调区间上也是单调的，求的取值范围． 22．（本题满分14分）如图，已知过点的抛物线与过点的动直线相交于、两点． （I）求直线与直线的斜率的乘积； （II）若，求证：△的周长为定值． [来源:学科网] 2013学年浙江省第二次五校联考 数学（文科）答案 一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的． 1.D 2．C 3. D 4．A 5．B 6. B 7. C 8. D 9．B 10. A 二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11． 12. 13．32 14．5 15． 16．3 17． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[来源:学科网ZXXK] 18．解：（1）因为，所以， 因为，由正弦定理可得：
，整理可得： 所以，。 (2)由得 从而= 当时，函数取得最大值。 19．解：（Ⅰ）由已知可得，消去得：， 解得或（舍），从而 （Ⅱ）由（1）知：. ∵对任意的恒成立, 即：恒成立，整理得： 对任意的恒成立，即：对任意的恒成立. ∵ 在区间上单调递增，. 的取值范围为. 20．解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD， ∵E是BP的中点，∴EF//AB且， 又∵∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD ……2分 又∵EC平面PAD，FD平面PAD∴EC//平面ADE …………4分 （Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA＝PD， 所以PH⊥AD ∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ∴PH⊥面ABCD ∴HB是PB在平面ABCD内的射影 ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角…………6分 ∵四边形ABCD中， ∴四边形ABCD是直角梯形， 设AB=2a，则，在中,易得,[来源:学§科§网Z§X§X§K] ，又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴在中，…………10分 (Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a…………11分 ，又∴， 在中， ∴二面角P-AB-D的的正弦值为 …………15分 21．解：（1） 由题知，有，得或 ……4分 而当时，切线与平行，符合题意 当时，切线为重合，不合条件，舍去 故． ……………6分 （2）， 设，，设的两根为 （1）当即时，，单调递增，满足题意；………8分 （2）当即或时， ①若，则，即， 此时，在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，故不满足题意 …………………………10分 ②若，则， 此时，在上单调递增，满足题意 ……………12分 ③若，则，此时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故不满足题意 ……………14分 综上得的取值范围为 …………………………15分 22．解：（I）由抛物线过点知………………1分 设直线的方程为 由得 ………………2分 设， 则 ………………3分 …6分 （II）的中点坐标为，即， ， 所以的中点坐标为， ………………8分 由已知得，即．………………10分 设，则， 在上是增函数，又，，故在内有一个零点， 函数有且只有一个零点，即方程 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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