山西大学附中

2013-2014学年第二学期高三第一次月考

数学试题（文科）

考试时间：120分钟 考试内容：综合

一．选择题（5×12=60）

1.已知集合
,集合
,则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数
为虚数单位)是关于x的方程
为实数)的一个根,则
的值为（　　）A．22 B．36 C．38 D．42

3.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 若双曲线
：
与抛物线
的准线交于
两点，且
，则
的值是( )A.
B.
C.
D.

5.已知命题:
：
是“方程
”表示椭圆的充要条件；

:在复平面内,复数
所表示的点在第二象限；

: 直线
平面
，平面
∥平面
，则直线
平面
；

:同时抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为
， 则下列复合命题中正确的是（ ）

A.
且
B.
或
C.非
　　　D.
或

6.设
是等差数列
的前
项和，若
，则
＝( )

A.1 B.－1 C. 2 D.

7.执行如图所示的程序框图，输出的
值为( )

A.3 B.5 C.7 D.9

8.已知两个不重合的平面
和两条不同直线
，则下列说法正确的是( )

A. 若
则
　 B. 若
则

C. 若
则
　　　D. 若
则

9.已知

为
的导函数，则
的图像是（ ）

10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. 4 B.
　 C. 8 D.

11.已知
中，角
的对边分别为
、
、
，已知
，则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

12.定义域是一切实数的函数
，其图象是连续不断的,且存在常数
使得
对任意实数
都成立,则称
是一个“
的相关函数”.有下列关于“
的相关函数”的结论:①
是常数函数中唯一一个“
的相关函数”；②
是一个“
的相关函数”；③ “
的相关函数”至少有一个零点.其中正确结论的个数是（　　）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（5×4=20）

13.三棱锥
的侧棱
两两垂直且长度分别为2
，2
，1
，则其

外接球的表面积是　 　
．

14.已知实数
满足：
，
，则
的取值范围是_　　　 ．[来

15. 如图, 在等腰三角形
中, 底边
,
,
, 若
, 则
= 　　．

16.已知函数
且
，其中
为奇函数,
为偶函数，若不等式
对任意
恒成立,则实数
的取值范围是 .

三．解答题

17.（本题满分12分）已知
分别是
的三个内角
的对边，
.

（1）求角
的大小；

（2）求函数
的值域.

18.（本小题满分12分）学校为了预防甲流感，每天上午都要对同学进行体温抽查。某一天，随机抽取甲、乙两个班级各10名同学，测量他们的体温如图：（单位0.1℃）

（1）哪个班所选取的这10名同学的平均体温高？

（2）一般
℃为低热，
℃为中等热，
℃为高热。按此规定，记事件
为“从甲班发热的同学中任选两人，有中等热的同学”，记事件
为“从乙班发热的同学中任选两人，有中等热的同学”，分别求事件
和事件
的概率.

19．（本题满分12分）如图，四棱锥
中，
，
∥
，
，
．

(1）求证：
；

(2）线段
上是否存在点
，使
// 平面
？

若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分12分）已知函数

(1) 若
，求函数
的极值；

(2）是否存在实数
使得函数
在区间
上有两个零点，若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.

21．（本题满分12分）设
分别为椭圆
的左、右焦点，过
的直线
与椭圆
相交于
两点，直线
的倾斜角为
，
到直线
的距离为
.

(1)求椭圆
的焦距；

(2)如果
，求椭圆
的方程．

22.（本小题满分10分）选修4—4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系
,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
点的极坐标为
, 曲线
的极坐标方程为
.

(1)写出点
的直角坐标及曲线
的普通方程；

(2)若
为
上的动点,求
中点
到直线
(
为参数)距离的最小值.

23．（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域为
，试求
的取值范围.

2013——2014学年第二学期第一次文科数学参考答案

一．A C B D B A C B A C C A

二．13.
14.
15.
16.

三．17解：

（II）
…………………………8分

……10分

所以所求函数值域为
………………12分

18.解：

19解：（Ⅰ）取
中点
，连结
，
．

因为
，所以
．

因为
∥
，
，所以
∥
，
．

又因为
，所以四边形
为矩形， 所以
．

因为
，所以
平面
．所以
．………………6分

(Ⅱ）点
满足
，即
为
中点时，有
// 平面
．

证明如下：取
中点
，连接
，
．

因为
为
中点，所以
∥
，
．

因为
∥
，
，所以
∥
，
．

所以四边形
是平行四边形，所以
∥
．

因为
平面
，
平面
，所以
// 平面
． ………………12分

20解： (1)
………1分

，

，
………………5分

(2）
，

，

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
，
，
，

所以
在区间
，
上各有一个零点，即在
上有两个零点；

② 当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
上为增函数，
，
，
，
，所以
只在区间
上有一个零点，故在
上只有一个零点；

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
上为增函数，

，
，
，
， 所以
只在区间
上有一个零点，故在
上只有一个零点；

故存在实数
，当
时，函数
在区间
上有两个零点。…………12分

21解： (1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)

∵kl＝tan60°＝,∴l的方程为y＝(x－c)即：x－y－c＝0

∵F1到直线l的距离为2

∴＝c＝2 ∴c＝2 ∴椭圆C的焦距为4………………5分

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0

直线l的方程为y＝(x－2)

由消去x得，(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0

由韦达定理可得

∵
，∴－y1＝2y2，代入①②得

又a2＝b2＋4　　　　　　　 　　⑥

由⑤⑥解得a2＝9　b2＝5

∴椭圆C的方程为＋＝1. ………………12分

22解：

23解：（Ⅰ）当
时，
，解得
或

定义域为
……………………………………… 4分

（Ⅱ）
恒成立，即
恒成立，

令

由
的图象知
，

，
. ………………………………………… 10分