宁阳一中2011级高三阶段性考试（一）

数学试卷（理）

2013、10

第Ⅰ卷（选择题共60分）

选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.设集合
,则
（　　）

A．{-1,0,1,2} B．{-1,0,1} C．{0,1,2} D．{0,1}

2.幂函数
的图象经过点(4,
),则f(
)的值为 （　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3.下列说法错误的是: （　　）

A．命题“若x2—4x+3=0,则x=3”的逆否命题是“若x≠3,则x2-4x+3≠0”

B．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件

C．若p∧q为假命题,则p、q均为假命题

D．命题p:″
,使得
,则p：
.

4.下列函数求导运算正确的个数为 （　　）

①(3x)′＝3xlog3e； ②(log2x)′＝； ③(ex)′＝ex；

④()′＝x； ⑤(x·ex)′＝ex＋1.

A．1 B．2 C．3 D．4

5.已知集合
则
（　　）

A．
B．
C．
D．

6.设
则a,b,c的大小关系是 （　　）

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
若
,则等于 （　　）

A．
或
B．
C．
D．1或

8. 若函数
在区间
上存在一个零点,则的取值范围是 （　　）

A．
B．
C．
D．
或

9.已知函数
,若函数
有三个不同的零点,则实数的取值范围为 （　　）

A．
B．
C．
D．

10.函数f(x)=
的大致图象为 (　 )

A． B． C． D．

11.已知定义在上的函数
,对任意
,都有
成立,若函数
的图象关于直线
对称,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

12.设
是连续的偶函数,且当
时
是单调函数,则满足
的所有之和为 （　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：(本大题共4小题，共16分.把答案填在答题卷中相应位置上.)

13.若
,且
,则的取值范围为__ ▲___.

14. 计算定积分(x2＋sin x)dx＝ ▲ ．

15.函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］,总有f(x)≥0成立，则a=　▲　　．

16.函数
的定义域为D,若存在闭区间[a,b] D,使得函数
满足:

(1)
在[a,b]内是单调函数;(2)
在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=
的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是____▲___ (只需填符合题意的函数序号)

①
;②
;

③
;④
.

三.解答题:(本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17.（12分）已知集合
,若
,求实数的取值范围.

18.（12分） 已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，

q：设函数y＝函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

19. （12分）对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)

20. （12分）已知：二次函数f(x)的两个零点分别为x=1和x=2，且f(x)在（0, f(0)处的切线与直线3x+y=0平行；

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若α，β是方程f(x)=-ax+1的两个根，

求α2+β2的取值范围.

21. （12分）已知：f(x)=
x2-(a2+2)x+(a2+1)lnx,(a∈R).

(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的极大值与极小值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间.

22. （12分）已知函数f(x)=x-1-ln(x+m)在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;

(Ⅰ)求m的值.

(Ⅱ)若对任意的x∈［1,+∞)，不等式f(x)≤a(x-1)2恒成立，求实数a的取值范围.

阶段性考试

数学试卷（理）参考答案

2013、10

一、选择题：

1.D 2.B 3C 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 12.C

二、填空题：

13.
14.
15.4 16.①③④

三、解答题：

17、（12分）已知集合
,若
,求实数的取值范围.

解:由已知得
……………………………………………………2分

…………………………………………………………4分

又

①当
即
时,集合
.

要使
成立,只需
,解得
…………………………7分

②当
即
时,
,显然有
,所以
符合 ……………8分

③当
即
时,集合
.

要使
成立,只需
,解得
……………………………11分

综上所述,所以的取值范围是[-2,2]…………………………………………………12分

18.已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：设函数y＝函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

解：若p是真命题，则0＜a＜1， ……………………………………………………2分

若q是真命题，则ymin＞1 ………………………………………………………………3分

又ymin＝2a，∴2a＞1，∴q为真命题时a＞； ………………………………………5分

又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假． …………………………………7分

若p真q假，则0＜a≤；………………………………………………………………9分

若p假q真，则a≥1. …………………………………………………………………11分

故a的取值范围为0＜a≤或a≥1. …………………………………………………12分

19. （12分）对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)

解　设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：

①连续生长十年，

木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5； ……………………………………………………4分

②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5， ………………………………………8分

则＝，

因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以＞1，即M＞N,………………………………………12分

因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．

20. （12分）已知：二次函数f(x)的两个零点分别为x=1和x=2，且f(x)在（0, f(0)处的切线与直线3x+y=0平行；

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若α，β是方程f(x)=-ax+1的两个根，

求α2+β2的取值范围.

解：(Ⅰ)∵x=1,x=2是函数f(x)的两个零点

∴设f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x2-3x+2) ……………………………………………………3分

∴f′(x)=a(2x-3), …………………………………………………………………………4分

又f(x) 在（0, f(0)处的切线与直线3x+y=0平行，

∴f′(0)=-3a= -3，∴a=1 ………………………………………………………………5分

∴f(x)=x2-3x+2；…………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)由f(x)=-ax+1得x2+(a-3)x+1=0

∴由=(a-3)2-4=a2-6a+5≥0得a≤1或a≥5………………………………………… 8分

又∵α，β是方程x2+(a-3)x+1=0的两个根

∴α+β=a-3,αβ=1………………………………………………………………………9分

∴α2+β2=(α+β) 2-2αβ=(a-3)2-2

=a2-6a+7,( a≤1或a≥5) ………………………………………………………………10分

∴α2+β2∈[2,+∞)

∴α2+β2的取值范围是[2,+∞). ………………………………………………………12分

21. （12分）已知：f(x)=
x2-(a2+2)x+(a2+1)lnx,(a∈R).

(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的极大值与极小值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间.

解：f(x)的定义域为（0，+∞）…………………………………………………………1分

(Ⅰ)当a=1时，f(x)=
x2-3x+2lnx

f′(x)=x-3+
=
,(x>0) ……………………………………………………3分

由f′(x)=0得x=1或x=2…………………………………………………………………4分

则x变化时, f′(x),f(x)的变化情况如下表：

x

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,+∞)



f′(x)

+

0

-

0

+



f(x)

↗

极大值

↘

极小值-4+2ln2

↗



∴f(x)极大值=
f(x)极小值=-4+2ln2………………………………………………………6分

(Ⅱ) f′(x)=x-(a2+2)+
=
,(x>0) ………………………………8分

①当a=0时，f′(x)=
，

∴f(x)的单调递增区间为（0，+∞）；…………………………………………………9分

②当a≠0时，

由f′(x)>0得，x>a2+1或0

由f′(x)<0得，1

∴f(x)的单调递增区间为（0，1）,( a2+1, +∞),

单调递减区间为（1 ，a2+1)， …………………………………………………………11分

由①②得：

当a=0时，

f(x)的单调递增区间为（0，+∞）；

当a≠0时，

f(x)的单调递增区间为（0，1）,( a2+1,+∞),

单调递减区间为（1 ，a2+1)……………………………………………………………12分

22. （14分）已知函数f(x)=x-1-ln(x+m)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;

(Ⅰ)求m的值.

(Ⅱ)若对任意的x∈［1,+∞)，不等式f(x)≤a(x-1)2恒成立，求实数a的取值范围.

解: (Ⅰ)
……………………………………………………………1分

由于函数f(x)在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数

所以函数f(x)在x=1处取得极小值，……………………………………………………3分

所以f′(1)=0，即
因此m=0. ……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x-1-ln x.

若a≤0，取x=2，则f(x)=1-ln 2>0不满足f(x)≤a(x-1)2，因此必有a>0 ……6分

不等式f(x)≤a(x-1)2，

即为x-1-ln x≤a(x-1)2，

所以a(x-1)2-x+1+ln x≥0在x∈［1,+∞)上恒成立.

令g(x)=a(x-1)2-x+1+ln x, ……………………………………………………………7分

则g′(x)=2a(x-1)-1+
=

①当
时，当x>1时，有g′(x)>0恒成立，即g(x)在［1,+∞)上单调递增，…………………………………………………………………………………………9分

g(x)在［1,+∞)上的最小值为g(1)=0，

故g(x)≥g(1)=0在x∈［1,+∞)上恒成立， …………………………………………10分

②当
时，

由

即函数g(x)在
上单调递减， …………………………………………………12分

又g(1)=0，

所以当x∈(1,
)时，g(x)<0，

因此g(x)≥0在x∈［1,+∞)上不能恒成立. …………………………………………13分

综上，实数a的取值范围是
………………………………………………14分