2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第九次适应性训练

数学（文科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题:（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．条件
，条件
，则
是
的( )

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．根据下列算法语句，输出
的值为(　　)．

A．19

B．20

C．100

D．210

3．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )

A．
B．
C．1 D．

4．函数
与
在同一坐标系中的图像大致是（ ）

5． 已知向量
，且
∥
，则
（ ）

A．
B．


C．

D．

6．对于平面
，
，
和直线
，
，
，
，下列命题中真命题是 （ ）

A．若
,则
；

B．若
则
；

C．若
,则
；

D．若
,则
.

7． 圆
与直线
相切于点
，则直线
的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．从区间
内随机取出一个数
，从区间
内随机取出一个数
，则使得
的概率是（ ）

A．

B．
C．
D．

9．已知双曲线
的渐近线与抛物线
在点（2,2）处的切线平行，则此双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10． 定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，有
仍是等比数列，则称
为“保等比数列函数”.现有定义在
上的如下函数： ①
； ②
； ③
； ④
，则其中是“保等比数列函数”的
的序号为（ ）

A． ①②
B． ③④ C． ①③ D． ②④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知
的值如表所示：

2

3

4





5

4

6



如果
与
呈线性相关且回归直线方程为
，则
.

12．若
是纯虚数，则
的值为 .

13．观察： ＋<2， ＋<2， ＋<2，…对于任意正实数a，b，试写出使＋<2成立的一个条件可以是________．[来源:学科网]

1
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝1200，AB＝AC＝2，D为BC边

上的点，且
，
，则
.

15．选做题（请考生在三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）．

（A）．（坐标系与参数方程） 在极坐标系中,过圆
的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .

（B）．（不等式选讲）不等式
对于一切

恒成立，则实数
的取值范围 .

（C）．(几何证明选讲）如图：若
，
，
与
交于点D，且
，
，则
.

三、解答题：（本大题共6小题，共
75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）设函数
（
，
）的部分图象如图所示，其中△
为等腰直角三角形，
，
.

（I）求函数
的解析式；

（Ⅱ）求函数
在
时的所有零点之和.

17．（本题满分12分）
已知数列
为等差数列，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明：
.

18
．（本题满分12分）如图，设四棱锥
的底面为菱形，且∠
，
，
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设P为SD的中点,求三棱锥
的体积.

19．（本题满分12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．


非体育迷

体育迷

合计



男









女









合计









 (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)将日均收看该体
育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

参考公式及数据：χ2＝

P(χ2≥k)

0.05

0.01



k

3.841

6.635





20．（本题满分13
分）设椭圆
：
的离心率
，右焦点到直线
:
的距离
，
为坐标原点.

（Ⅰ） 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
：
与椭圆
交于
两点，若以
为直径的圆过原点
，求
到
的距离.

21．（本题满分14分）已知函数
.

（I） 求
的极值；

（Ⅱ）若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；

(Ⅲ) 设
，若函数
存在两个零点
，且满足
，问：函数
在
处的切线能否平行于
轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第九次适应性训练

数 学（文科）参考答案

一、选择题: CCACB BDBAC

二、填空题：11．
；12．
；13．　a＋b＝22 ；14．1；

15．A．
； B．
； C． 7 ．

三、解答题：

16．（本题满分12分）

解：（I）如图,由已知得
，
，所以

（Ⅱ）由
，得
，故
或
（
Z），

所以当
时的所有零点之和为
.

17．（本题满分12分）

解：（I）设等差数列
的公差为d.由
得

即d=1.所以
即

（II）证明：

，

18．（本题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接
，取
的中点
，连接
、
，
，
，
，
，又四棱锥
的底面为菱形,且∠
，

是是等边三角形，

，又
，
，
，
面

（Ⅱ）
=
=
-
=
=

19．（本题满分12分）

解　(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



女

45

10

55



合
计

75

25

100



将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

χ2＝＝≈3.030.

因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．

(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.

Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则

A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.

20．（本题满分13分） [来源:Zxxk.Com]

解：（Ⅰ）
，右焦点
到直线
的距离
，

则
，且
，所以
，[来源:学+科+网Z+X+X+K]

所以椭圆
的的方程是：

（Ⅱ）设直线
：
，那么：
，

则
，

又因为直线
与椭圆
交于
两点，以
为直径的圆过原点
，

，

，化简得
，即

所以
到直线
的距离为

21．（本题满分14分）

解：（Ⅰ） 由已知,
,令
=0,得
,

列表易得
,

（Ⅱ）

由题意，知
恒成立，即
.

又
，当且仅当
时等号成立.

故
，所以
.

（Ⅲ）设
在
的切线平行于
轴，其中
结合题意，

,相减得

,又
,

所以
设
，

设
，

所以函数
在
上单调递增，

因此，
，即

也就是，
，所以
无解。

所以
在
处的切线不能平行于
轴。