2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第九次适应性训练

数学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题:（本大
题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．条件
，条件
，则
是
的( )[来源:Z+xx+k.Com]

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．根据右图算法语句，输出
的值为(　　)．

A．19

B．20

C．100

D．210

3．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )

A．
B．

C．1 D．

4．函
数
与
在同一坐标
系中的图像大致是（ ）

5． 已知向量
，且
∥
，则

A．
B．
C．
D．

6．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是:抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是（ ）

A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样

B．这次抽样一定没有采用系统抽样

C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率

D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率

7． 圆
与直线
相切于点
，则直线
的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

8．从区间
内随机取出一个数
，从区间
内随机取出一个数
，则使得
的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线
的左右焦点分别为
,若双曲线上存在点
满足
，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

10． 定义在
上的函数
，如果对于任意给定的
等比数列
，有
仍是等比数列，则称
为“保等比数列函数”.现有定义在
上的如下函数： ①
； ②
； ③
； ④
，则其中是“保等比数列函数”的
的序号为（ ）

A． ①② B． ③④ C． ①③ D． ②④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知
的值如表所示：

2

3

4





5


4

6



如果
与
呈线性相关且回归直线方程为
，则
；

12．若
是纯虚数，则
的值为 ；

13．如图，在圆中有结论：“
是圆
的直径，直线
、
是圆
过
、
的切线，
是圆
上任意一点，
是过
的切线，则有
．”类比到椭圆：“
是椭圆的长轴，
，
是椭圆的焦点，直线
、
是椭圆过
、
的切线，

是椭圆上任意一点，
是过
的切线，则有 ；

14．若
，则
= 。

15．选做题（请考生在三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）．

（A）．（坐标系与参数方程） 在极坐标系中,过圆
的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 。[来源:学.科.网]

（B）．（不等式选
讲）不等式
对于一切

恒成立，则实数
的取值范围是 。

（C）．(几何证明选讲）如图：若
，
，
与
交于点D，且
，
，则
。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）设函数
（
，
）的部分图像如图所示，其中△
为等腰直角三角形，
，
。

（I）求函数
的解析式；

（Ⅱ）求函数
在
时的所有零点之和。

17．（本题满分12分）已知数列
为等差数列，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明：
。

18．（本题满分12分）如图，设四棱锥
的底面为菱形，且∠
，
，
。

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所夹角的余弦值。

19．（本题满分12分）甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为
，
，
，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为
，
，
。

（I） 求甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率；

（Ⅱ）设甲，乙，丙三人中材料审核过关的人数为随机变量
，求
的分布列和期望。[来源:Zxxk.Com]

20．（本题满分13分）设椭圆
：
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，
为坐标原点。

（Ⅰ） 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆
交于
两
点，以
为直径的圆过原点
，求
到直线
的距离。

21．（本题满分14分）已知函数
。

（I）若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）在（I）的条件下，且
，
，
，求
的极小值；

(Ⅲ) 设


，若函数
存在两个零点
，且满足
，问：函数
在
处的切线能否平行于
轴
？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由。

2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第九次适应性训练

数 学（理科）参考答案

一、选择题: CCACB
ADBAC

二、填空题：11．
；12
．
；13．
；14．
。

15．A．
； B．
； C． 7 ．

三、解答题：

16．（本题满分12分）

解：（I）如图,由已知得
，
，所以

（Ⅱ）由
，得
，故
或
（
Z），

所以当
时的所有零点之和为
。

17．
（本题满分
12分）

解：（I）设等差数列
的公差为d.由
得

即d=1.所以
即

（II）证明：

，

[来源:学科网]

18．（本题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接
，取
的中点
，连接
、
，
，
，
，
，又四棱锥
的底面为菱形,且∠
，
是是等边三角形，

，又
，
，
，
面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分别以
为
轴、
轴、
轴的正半轴建立建立空间直角坐标系。则面
的一个法向量

，
，
，
，
，设面
的法向量

，则


，


，令
，则
，由

，设平面
与平面
所夹角的大小为
，则

19．（本题满分12分）

解：（I）设甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格的概率分别为
、
、
，

则
，
，
，

所以甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率：

（Ⅱ）
可能取值为
，则
，

，

[来源:Zxxk.Com]

0

1

2

3

















20．（本题满分13分）

解：（Ⅰ）
，右焦点
到直线
的距离
，

则
，且
，所以
，

所以椭圆
的的方程是：

（Ⅱ）设直线
：
，那么：
，

则
，

又因为直线
与椭圆
交于
两点，以
为直径的圆过原点
，