2014届福州市高三5月综合练习

数学(文科)试卷

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|x2－(a+3)x+3a=0},B={x|x2－5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为( )

A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4}

2.抛物线y=2x2的准线方程为( )

A.
B.
C.
D.

3.已知a∈R,且a≠0,则
是“a>1”的( ).

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

4.函数y=ln(x+1)与
的图像交点的横坐标所在区间为( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为
,

则判断框内应填入的条件是( )

A.k<3 B.k>3

C.k<4 D.k>4

6.某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )

7.函数
(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为( ).

A.
B.0 C.－1 D.

8.如图,半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,则
=( )

A.
B.
C.
D.

9.已知直线a,b异面, ,给出以下命题:①一定存在平行于a的平面

使
;②一定存在平行于a的平面使
∥;③一定存在平行于a的平面使
;④一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点.则其中论断正确的是( )

A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④

10.已知P(x,y)为椭圆
上一点,F为椭圆C的右焦点,若点M满足
且
,则
的最小值为( )

A.
B.3 C.
D.1

11.在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).

A.a、c、b 成等比数列 B.a、c、b 成等差数列

C.a、b、c 成等差数列 D.a、b、c成等比数列

12.已知
都是定义在R上的函数，
,
,且
（
）,
,对于数列
(n=1,2,…,10),任取正整数k(1≤k≤10),则其前k项和大于
的概率是( ).

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.

13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下
,2;
,3;
,4;

,5;
,4;
,2.则样本在
上的频率是 ．

14.已知函数
(其中
,
,

)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式

是 .

15. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值

为 .

16.已知

且
,现给出如下结论:

①
;②
;

③
;④;
;

⑤
的极值为1和3.其中正确命题的序号为 .

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知
是一个公差大于0的等差数列,且满足
.

(I)求数列
的通项公式;

(Ⅱ)若数列
和数列
满足等式:
(n为正整数) 求数列
的前n项和
.

18. (本小题满分12分)

如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据

规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公

路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN

＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

19.(本小题满分12分)

把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为
.试就方程组
(※) 解答下列问题:

(Ⅰ)求方程组没有解的概率;

(Ⅱ) 求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率..

20.(本小题满分12分)

已知正△ABC的边长为, CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.

(Ⅰ)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关

系,并说明理由;

(Ⅱ)若棱锥E-DFC的体积为
,求a的值;

(Ⅲ)在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.

21. (本小题满分12分)

已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P(2,2),以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0,1),记
为圆
与轴的两个交点.

(1)求抛物线
的方程;

(2)当圆心
在抛物线上运动时,试判断
是否为一定值？请证明你的结论;

(3)当圆心
在抛物线上运动时,记
,
,求
的最大值．

22.(本题满分14分)

已知函数
(
).

(Ⅰ)若
,求函数
的极值;

(Ⅱ)设
．

① 当
时,对任意
,都有
成立,求
的最大值;

② 设
的导函数.若存在
,使
成立,求
的取值范围.

2014届福州市高三5月综合练习数学(文科)

参考答案

1-6 DBBBCC 7-12 ABDADD

13.
14.
15 . 1/2 16 . ②③

17. (I) {an}是一个公差大于0的等差数列,且满足
.

an=2n－1----------------------4分

(Ⅱ)n≥2时,

∴
------------------8分

n≥2时,Sn=(4+8+…+2n+1)－2=

n=1时也符合,故Sn=2n+2－6----------------------------12分

18.解法一:设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因为MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分

在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).…………………4分

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°θ) cos(60°＋θ) ………………………………6分

＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． ………………………10分

当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.

答:设计∠AMN为60(时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分

解法二(构造直角三角形):

设∠PMD＝θ,在△PMD中,

∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.……………2分

在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,

AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥时,结论也正确).……………4分

AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2

＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………6分

＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

＝＋sin(2θ－),θ∈(0,).…………………………10分

当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30° …………………………12分

解法三:设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.

在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,

所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN,

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.…………………………2分

因为＝,即＝,

所以sinα＝y,cosα＝＝＝.………………………4分

cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝.…6分

在△AMP中,AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP,

即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.……………………10分

因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4.

所以AP2≤12,即AP≤2.

当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2.

答:设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………… 12分

解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.

设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN＝2,

∴(x1－x2)2＋3x＝4.…………………………2分

MN的中点K(,x2)．

∵△MNP为正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,

∴PK2＝(x0－)2＋(y0－x2)2＝3,

kMN·kPK＝－1,即·＝－1,………………4分

∴y0－x2＝(x0－),∴(y0－x2)2＝(x0－)2

∴(1＋)(x0－)2＝3,即(x0－)2＝3,∴(x0－)2＝x．

∵x0－＞0 ∴x0－＝x2,

∴x0＝x1＋2x2,∴y0＝x1． …………………6分

∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12,……………………10分

即AP≤2.

答:设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……… 12分

解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.

由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,………4分

设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，

由图形的几何性质知:AP的最大值为PF＋R.……6分

在△AMN中,由正弦定理知:＝2R,

∴R＝,…………8分

∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.

设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．

即FE＝，又PE＝.………10

∴PF＝,∴AP的最大值为PF＋R＝2.

答:设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分

19.解:(Ⅰ)由题意知,总的样本空间有
组 ……1分

方法1:若方程没有解,则
,即
……3分

(方法2:带入消元得
,因为
,所以当
时方程组无解)

所以符合条件的数组为
, ……4分

所以
,故方程组没有解的概率为
……5分

(Ⅱ)由方程组
得
……6分

若
,则有
即
符合条件的数组有
共有个 ……8分

若
,则有
即
符合条件的数组有
共个 ……10分

∴所以概率为
,

即点P落在第四象限且P的坐标满足方程组(※)的概率为
. ……12分

20.解(1)AB//平面DEF,

如图.在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,

又AB平面DEF,∴AB//平面DEF, ……4分

(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B

∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2

,a=2. ……8分

(3)存在满足条件的点P.

做法:因为三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P.则点P即为所求.

证明:∵AD⊥平面BCD , KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.

故AP:OC=1:2,AP:AC=1:3 ……12分

21.(1)由已知,设抛物线方程为x2=2py,22=2p×2,解得p=1.

所求抛物线C1的方程为x2=2y.---