2014年普通高等学校招生全国统一考试西
工大附中第八次适应性训练

高三数学（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分1
50分.考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若
，则下列不等式中成立的是

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知平面向量
，且
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

3.在等差数列
中，
，那么

（A）14 （B）21 （C）2
8 （D）35

4.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个

① 若平面
平面
，直线
平面
，则
；

② 若平面
平面
，且
平面
平面
，则
；

③ 平面
平面
，且
，点
，
，若直线
，则
；

④ 直线
为异面直线，且
平面
，
平面
，若
，则
.

（A）
（B）
（C）
（D）

5.函数
的大致图象为

（A） （B） （C） （D）

6.已知函数
的最小正周期为
，且满足

，则

（A）
在
上单调递减 （B）
在
上单调递减

（C）
在
上单调递增 （D）
在
上单调递增

7.若一元二次不等式
的解集为
，则
的最小值是

（A）
（B）
（C）2
（D）1

8. 设双曲线的一个焦点为
，虚轴的一个端点为
,如果直线
与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）
[来源:Z_xx_k.Com]

9.二项式
(
)的展开式的第二项
的系数为
，则
的值为

(A)
(B)
(C)
或
(D)
或

10．已知
是R上的偶函数，若将
的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图像，若
则
=

（A）0 (B)1 （C）－1 ( D)－1004.5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11. 抛物线
＝－2y2的准线方程是 .

12. 已知
满足
,则
的最大值为

13.若
，则
＝ ．

14.在三棱锥
中，底面
为边长为
的正三角形，顶点
在底面
上的射

影为
的中心， 若
为
的中点，且直线
与底面
所成角的正切值为

，则三棱锥
外接球的表面积为__________．

15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．（选修4—5 不等式选讲） 若对于任意实数x不等式
恒成立，则实数
的取值范围是： ；

B．(选修4—1 几何证明选讲）如图，已知
的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为 ；

C．（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极
轴与

x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
．点P在曲线C上，则点P到直线
的距离的最小值为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

设函数
.

（Ⅰ）求
的值域；

（Ⅱ ）记
的内角
的对边长分别为
，若
，
，求
的值.

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的
前
项和
．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，
是
的中
点，作
交
于点
．

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值．

19．（本小题满分12分）[来源:学科网ZXXK]

一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X为取得红球的个数．

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
经过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程及其离心率；

（Ⅱ）过椭圆右焦点
的直线（不经过点
）与椭圆交于
两点，当
的平分线为
时，求直线
的斜率
．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若函数
在其定义域内为增函数，求正实数
的取值范围；

（Ⅲ）设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
成立，求实数
的取值范围．

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高三数学（理科）参考答案

一．选择题: CBCBD AADAC

二．填空题: 11.
12.3 13.
；14.
；15.A.
B.
C. 5

三．解答题

16解：（Ⅰ）

因为
，所以
，

所以
的值域为
． ………6分

（Ⅱ）
由
得：
，即
．

又因为在
中，
，故
．[来源:Z.xx.k.Com]

在
中，由余弦定理得：

解得：
或
. ………12分

17解：（Ⅰ）当
时，由
得：
． 当
时，
　① ；

　② 上面两式相减，得：
．

所以数列
是以首项为
，公比为
的等比数列． 得：
．……6分

（Ⅱ）


．　
． ……10分

(12分)

18解：如图建立空间直角坐标系，点
为坐标原点，设
. ……..…1分

（Ⅰ）证明：连结

交
于点
，连结
.依题意得
.

因为底面
是正方形，所以点
是此正方形的中心，

故点
的坐标为
，且
.

所以
,即
,而
平面
,且
平面
,

因此

平面
． ……5分

（Ⅱ）
,
又
,故
,所以
.

由已知
，且
,所以
平面
. ………7分

所以平面
的一个法向量为
.
,

不妨设平面
的法向量为

则

不妨取
则
，即
…10分

设求二面角
的平面角为

因为
，所以
．

二面角
的正弦值大小为
． ………12分[来源:Z&xx&k.Com]

19.解：（Ⅰ）X
，1,2,3,4

其概率分布分别为：
，
，
，

，
．其分布列为

X

0

1

2

3

4



P













（Ⅱ）
．……………………（12分）

20.解：（Ⅰ）把点
代入
，可
得
．

故椭圆的方程为

，椭圆的离心率为
．　……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
．

当
的平分线为
时，由
和
知：
轴．

记

的斜率分别为
．所以，

的斜率满足
……6分

设直线
方程为
，代入椭圆方程
并整理可得，

．

　设
，则

　　又
，则
，

．……………………8分

　　所以

=