2014届福州市高三5月综合练习

数学(理科)试卷

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数
(为虚数单位且
)在复平面内对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合
,
,则“
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.若
,其中
,则
( )

A.
B.
C.
D.

4.函数
的部分图象如下,其中正确的是( )

A B C D

5. 已知
,n∈N※,如果执行右边的程序框图,那

么输出的等于( )

A.18.5 B.37

C.185 D.370

6.已知函数
的值域为
,则满足这

样条件的函数的个数有( )个.

A.8 B.9 C.26 D.27

7.设F1、F2分别为双曲线C:
的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M、N两点,且满足MAN=120o,则该双曲线的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

8.设已知
均为整数(
),若和
被除所得的余数相同,则称和
对模同余,记为
,若
,且
, 则
的值可以是( )

A.2011 　 B.2012 　　 C.2013 　　D.2014

9.如图,己知
,∠AOB为锐角,OM平分∠AOB,点N为线段AB的中点,
,若点P在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x、y的式子中,①x≥0,y≥0;②x－y≥0;③x－y≤0;④5x－3y≥0;⑤3x－5y≥0.满足题设条件的为( )

A.①②④ 　 B.①③④ 　　 C.①③⑤ 　　D.②⑤

10.在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令
,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用口令,那么第5次也使用口令的概率是( )

A.
B.
　　 C.
　　D.

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.在集合
所表示的平面区域内任取一点M,则点M恰好取自轴上方的概率为___ _____.

12.在△ABC中,AB＝2,D为BC的中点,若
=
,则

AC＝_____ __．

13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为

.

14.若函数
不存在零点,则实数的取值范围是 ．

15.已知
为定义在(0,+∞)上的可导函数,且
恒成立,则不等式
的解集为______ _____．

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分13分)

每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米):

甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;

乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.

(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据

你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种

树苗高度的统计结论;

(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值

为x,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),

问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义;

(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频

率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.

17. (本小题满分13分)

在
中,
的对边分别是
,已知
,平面向量
,

,且
.

(Ⅰ)求△ABC外接圆的面积;

(Ⅱ)已知O为△ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F,求

的值.

18. (本小题满分13分)

如图长方体
中,底面ABCD是边长为1的正方形,

E为
延长线上的一点且满足
.

(Ⅰ)求证:
平面
;

(Ⅱ)当
为何值时,二面角
的大小为
.

19. (本小题满分13分)

已知椭圆C:
(
)的离心率为
,点(1,
)在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中
,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆
上的点(
)处的椭圆切线方程是
,证明直线AB恒过椭圆的右焦点
;

(Ⅲ)试探究
的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.

20.(本题满分14分)

已知函数
(其中
),
为f(x)的导函数.

(Ⅰ)求证:曲线y=
在点(1,
)处的切线不过点(2,0);

(Ⅱ)若在区间
中存在
,使得
,求
的取值范围;

(Ⅲ)若
,试证明:对任意
,
恒成立.

21.(本题满分14分)

(1)二阶矩阵A,B对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.

(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A,B;

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA,并求出曲线
在矩阵C对应的变换作用下的曲线方程.

(2)已知曲线
的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为轴正方向建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是
(为参数).

(Ⅰ)求曲线
的直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线l与曲线
交于、两点,点
的直角坐标为(2,1),若
,求直线l的普通方程.

(3)已知函数
.

(Ⅰ)解不等式:
；

(Ⅱ)当
时, 不等式
恒成立,求实数的取值范围.

2014届福州市高三5月综合练习 数学(理)

参考答案

1-5 DABCA 6-10 BCABA

11.
12.1 13.
14.
15.{x|x>1}.

16. 解:(1)茎叶图如图所示:(2分)

甲



乙



9

0　1　3　5　9

1　2　3　7

11

12

13

14

0　0　4

6　7

0

4　6　6　7





统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;

②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;

③甲种树苗高度的中位数为127,乙种树苗高度的中位数为128.5;

④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.………………………………………………4分(每写出一个统计结论得1分)

(2)依题意,x＝127,S＝35. (6分)

S表示10株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量.

S值越小,表示树苗长得越整齐,S值越大,表示树苗长得越参差不齐.

(3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为,则X～B, (10分)

所以随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

5



P















 13分

17. (1)由题意，

得
………………………………………………2分

由于
中
,
,
………………………………3分

∴
………………………………………………………4分

2R=
-----------------------------------------6分

(2)因为O为△ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F,

所以
,故
=
-----13分

解:(Ⅰ)如图所示建立空间直角坐标系
,则A(1,0,0),C(0,1,0),设
,

由于
,所以
,并且
,E(1,1,
),

……………… 2分

,
,
,

,

又
,

,
平面
……………… 6分

(Ⅱ)
，

设平面
的法向量为
,则
, 即
,令
,

则
,
. ……………… 9分

平面
,平面
的法向量

,即
,解得
…………… 12分

当
时,二面角
的大小为
. ……………… 13分

19.解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为
(
)

①

点(1,
)在椭圆C上,
②,

由①②得:

椭圆C的方程为
， ……………… 4分

(Ⅱ)设切点坐标
,
,则切线方程分别为
,
.

又两条切线交于点M(4,),即
,

即点A、B的坐标都适合方程
,显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程，

故直线AB恒过椭圆的右焦点
. ……………… 7分

(Ⅲ)将直线
的方程
，代入椭圆方程,得

,即

所以
,
……………… 10分

不妨设
,
,

同理

所以
=
=

所以
的值恒为常数
.……………… 13分

20.解:(Ⅰ)由
得
,
,

所以曲线y=
在点(1,
)处的切线斜率为
,

,曲线y=
切线方程为
,

假设切线过点(2,0),代入上式得:
,得到0=1产生矛盾,所以假设错误,

故曲线y=
在点(1,
)处的切线不过点(2,0)…………4分

(Ⅱ)由
得

,
,所以
在(0,1]上单调递减,故
…………7分

(Ⅲ)令
,当
=1时,
,所以
..

因此,对任意
,
等价于
.…………9分

由
,
.所以

.

因此,当
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减.

所以
的最大值为
,故
. …………12分

设
,
,所以
时
,
单调递增,
,

故
时,
,即
.

所以
.

因此,对任意
,
恒成立 …………14分

21.(1)解:(Ⅰ)由题意,二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变,纵坐标变为原来一半的变换,故

二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转
的旋转变换,故
…………4分

(Ⅱ) C=BA=