惠安县2014届普通中学高中毕业班质量检查

文　科　数　学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案写在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据
,
,…,
的标准差：

，其中
为样本平均数；

柱体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

球的表面积、体积公式：
，
，其中为球的半径．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
，
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知i为虚数单位，则
＝（ ）

A．
B．
C .
D.

3. 已知平面向量
, 且
, 则
( )

A.
B.
C.
D.

4.已知命题：(
，
，则下列说法正确的是（ ）

A．
：(
，
，且
为假命题

B．
：(
，
，且
为真命题

C．
：(
，
，且
为假命题

D．
：(
，
，且
为真命题

5.如图给出的是计算
的值的一个

程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．

C．
D．

6.已知直线
经过坐标原点，且与圆
相切，切点在第四象限，则直线
的方程为( )

A.
B.
C.
D.

7.记集合
和集合
表示的平面区域分别为
，若在区域
内任取一点
，则点M落在区域
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.不等式组
所表示的平面区域的面积等于6，则的值为（ ）

A. 1 B.
C. 2 D. 3

9．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的部分图象如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）

A．①④②③ B．①④③②　 C．④①②③　 D．③④②①

10. 若某多面体的三视图（单位: cm）如图所示,

则此多面体的体积是 （ ）

A．
cm3 B．
cm3

C．
cm3 D．
cm3

11．已知双曲线
的一条渐近线与函数
的图象相切，则双曲线的离心率等于（ ）

　A．
　　　　B．

　　　　C．
　　　　D．

12．已知函数
的定义域为，若常数
满足：对任意正实数，总存在
，使得
成立，则称
为函数
的“渐近值”．现有下列三个函数：①
；②
；③
．

其中以数“1”为渐近值的函数个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．

13．某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为
，为了解高中学生身体素质，采用分层抽样，共抽取一个100人的样本，则样本中高一学生人数为__ ____人.

14．已知
的值为__________.

15．已知sin

，则
.

16．一个直角三角形的周长为，面积为
，给出下列四组数对：①（6，2）；②（25，5）；③（10，6）； ④
．其中可作为
取值的实数对的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求
在
的单调区间；

（Ⅱ）若
对于任意
恒成立，求实数的最大值.

18．（本小题满分12分）

某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

（Ⅱ）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在
之间的概率；

(Ⅲ) 根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩．

19．（本小题满分12分）

已知实数
，且
按某种顺序排列成等差数列．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若等差数列
的首项和公差都为，等比数列
的首项和公比都为，数列
和
的前

项和分别为
，且
，求满足条件的自然数的最大值．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点
为曲线:
上任一点（
点不同于
），直线
与直线
交于点，为线段
的中点，试判断直线
与曲线的位置关系，并证明你的结论．

21. (本小题满分12分)

如图，
，
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，，分别是
，
的中点，
．

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)证明：
；

(Ⅲ)假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的

任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥
内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.

22．(本小题满分14分)

在区间上，如果函数
为增函数，而函数
也是增函数，则称函数
为区间D上的“和谐”函数．已知函数
．

（Ⅰ）判断函数
在区间
上是否为“和谐”函数；

（Ⅱ）若是函数
图象上的任一点，求点到直线
的最短距离；

（Ⅲ）当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

2014年惠安县普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1． B 2. B 3. C 4. D 5．A 6.D 7.A 8. C 9. A 10．C 11．D 12．C

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13． 24 14． 3 15．
16．②④

三、解答题：本大题共6小题，共74分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 本小题主要考查三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）
，……3分

因为
， 所以
，……4分

由
，得
所以递增区间为
.……6分

由
，得
所以递减区间为
.

综上，
在
的递增区间为
，递减区间为
.……8分

（Ⅱ）由已知得，
，
，……9分

由（Ⅰ）得，
，……11分

所以
， 所以实数的最大值为
.……12分

18．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）分数在
的频率为
，由茎叶图知：分数在
之间的频数为，所以全班人数为
， ………2分

∴分数在
之间的人数为
人，则对应的频率为
． ………3分

所以
间的矩形的高为
． ………4分

（Ⅱ）将
之间的个分数编号为
，
之间的个分数编号为
，

在
之间的试卷中任取两份的基本事件为：
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
共
个． ………6分

其中，至少有一份在
之间的基本事件有
个，

故至少有一份分数在
之间的概率是
．……8分

（Ⅲ）全班人数共
人，根据各分数段人数计算得各分数段的频率为：

分数段













频率













………10分

所以估计这次测试的平均成绩为：

．………12分

19．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查分类整合的思想.满分12分.

（Ⅰ）解法一：由已知三个数有：
， ………1分

不妨设排列成递增的等差数列，则

①若
依次成等差数列，则有
解得
，符合题意；………3分

②若
依次成等差数列，则有
解得
，由
不符合题意；………5分

综上得
.………6分

解法二：分三种情况讨论：

①若
为等差中项，则有
解得
，符合题意；………2分

②若为等差中项，则有
解得
，由
不符合题意；………4分

③若
为等差中项，则有
，即
，
方程无解；……6分

综上得
.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
，
，………8分

， ………10分

由已知
可得
，即
,………11分

即
，又
，故的最大值为14．………12分

20. 本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分

解：（Ⅰ）由题意可得
，
， ∴
. …………2分

∴
， …………………3分

所以椭圆的方程为
． …………………4分

（Ⅱ）解法一：曲线是以
为圆心，半径为2的圆.

设
，点的坐