2014年惠安县普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
，
，若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数的取值可以是（ ）

A．
B．
C． 1 D．

3．设
为等差数列
的前项和，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知平面
和直线
，给出条件：①
；②
；③
；④
；

⑤
．为使
，应选择下面四个选项中的（ ）

A．③⑤ B．①⑤ C．①④ D．②⑤

5．若直线
是
的图象的一条对称轴，则可以是（ ）

A．1 B．2 C．4 D．5

6．执行下面的框图，若输入的
是
，则输出的值是（ ）

A．120 B．720 C．1440 D．5040

7．若函数
的图象能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分，则函数
称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆
的“可分函数”为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
在区间
上可找到
个不同数
，
，……，
，使得：

，则自然数的所有可能取值集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如图，设圆弧
与两坐标轴正半轴围成的扇

形区域为
，过圆弧上一点做该圆的切线与两坐标轴正半轴围

成的三角形区域为
.现随机在区域
内投一点，若设点落在

区域
内的概率为，则的最大值为（ ）

A．
　　 B．
　　C．
　　 D．

10．如图，点
是曲线
上的一点．过线段
的中

点
作轴的垂线交曲线于点
，再过线段
的中点

作轴的垂线交曲线于点
，……，以此类推，过线段

的中点
作轴的垂线交曲线于点
（
为原点
，

）．设点
，直线
关于直线
的对

称直线为
（
），记直线
、
的斜率分别为

、
．若
对任意
恒成立，则实数

取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．在平面直角坐标系下，满足线性约束条件
所对应的平面

区域面积是 ．

12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

13．已知二项式
，

则
.

14．直线
与双曲线
的渐近线交于
两点，为双曲线
上的一点，且
(
，
为坐标原点)，则
的最小值为______．

15．先阅读下面的材料：“求
的值时，采用了如下方法：

令
，则有
，两边同时平方，得
，解得
（负值舍去）．”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得函数
的零点为________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分13分)

已知四棱锥
的底面
是等腰梯形，
且

与
交于
，

分别是
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

17．(本小题满分13分)

已知函数
（
,
,
）,
的部分图像如图所示,、
分别为该图像的最高点和最低点,点的坐标为
．

（Ⅰ）求
的最小正周期及的值；

（Ⅱ）若点的坐标为
,
,求的值和
的面积．

18．(本小题满分13分)

如图，在圆
上任取一点，过点作轴的垂线段
，为垂足．设
为线段
的中点．

（Ⅰ）当点在圆
上运动时，求点
的轨迹

的方程；

（Ⅱ）若圆
在点处的切线与轴交于点
，

试判断直线
与轨迹的位置关系．

19．(本小题满分13分)

持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一.为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65)

[65，75]



频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

6

9

6

3

4



（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；

（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；

（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率
取得最大值的整数
.

20．(本小题满分14分)

设
(是自然对数的底数，
)，且
．

（Ⅰ）求实数的值，并求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设
，对任意
，恒有
成立．求实数的取值范围；

（Ⅲ）若正实数
满足
，
，试证明：

；并进一步判断：当正实数
满足

，且
是互不相等的实数时，不等式

是否仍然成立．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转
的变换所对应的矩阵为
,将每个点横、纵坐标分别变为原来的
倍的变换所对应的矩阵为
．

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵
；

（Ⅱ）求曲线
先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点
为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（为参数）．

（Ⅰ）分别求出曲线
和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点在曲线
上，且到直线
的距离为1，求满足这样条件的点的个数．

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知
，且
．

（Ⅰ）试利用基本不等式求的最小值；

（Ⅱ）若实数
满足
，求证：
．

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理科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．A； 2．C； 3．B； 4．D； 5．B； 6．B； 7．D； 8．C； 9．D； 10．C

*10.解析：随着的增大，
、
均递减，且当点
无限趋近于点时，
无限趋近于点处的切线
的斜率
，又易得直线
关于切线
的对称直线为
，即
无限趋近于0（或由抛物线的光学性质知
无限趋近于0），所以
无限趋近于
．

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．

11．1； 12．
； 13．6； 14．4； 15．
．

*15.解析：令
，则
．若
，则
，…，
；反过来，若
满足
，由于
在
上单调递增，由反证法可知，必有
．综上可知，方程
与
同解，得
（负值舍去）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．

证明：（1）
分别是
的中点.

是
的中位线，
………………………………………2分

由已知可知
………………………………………3分

…………………………………4分

…………………………………………………5分

…………………………………………………………………………6分

（2）以
所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

由题设，得
， …………………………………………7分

…………………………………………………………8分

设平面
的法向量为

可得
， ………………………………………………………10分

又平面
的法向量为

设二面角
的大小为，则
．

为锐角，二面角
的余弦值为
. ……………………………13分

17. 本小题主要考查三角函数的图像和性质、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合、化归与转化思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）
． ……………2分

所以
．将
代入得
(
），故
．…6分

（Ⅱ）设点
的坐标为
，由题意可知
，得
，所以
．

连接
, 则
, ………………………………8分

又因为
,
………………………………9分

在
中,
,由余弦定理得：

解得
，又
，所以
．……………………………………………11分

………13分

18. 本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）设
，则
．点在圆
上，
，

即点
的轨迹的方程为
．…………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：

（i） 当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
或
．显然与轨迹相切；

（ii）当直线
的斜率存在时，设
的方程为
，

因为直线
与圆
相切，所以
，即
．………………7分

又直线
的斜率等于
，点
的坐标为
．

所以直线
的方程为
，即