2014年通辽市高三420模拟考试

数学试卷参考答案(理科)

1．C　∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，∴(RA)∩B＝{x|1≤x＜3}．

2．B　z＝＝，则＝－1，得a＝3，∴z的虚部为－2.

3．C　由3sin 2α＝2cos α得sin α＝.因为＜α＜π，

故cos(α－π)＝－cos α＝＝.

4．A　由题意知椭圆的一个焦点为(－2，0)，则m＝22＋2＝6，则椭圆C的长轴长为2.

5．B　约束条件对应的区域如图所示．当直线z＝2x＋y过点A(2，2)时，z取得最大值6，当直线z＝2x＋y经过B(1，1)时，z取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2，选B.

6．A　若选0，则有CA＝12个；若不选0，则有CCA＝36个．共有12＋36＝48个．

7．A　k＝2，S＝4；k＝3，S＝11；k＝4，S＝26；k＝5，S＝57，输出结果，判断框内填“k＞4？”．

8．B　∵a＝log＜log＝，b＝log＞1，＜c＝()0.3＜1，∴b>c>a.

9．D　由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个底面积为×4×5、高为2的三棱柱组合而成，其体积V＝1×4×6＋×4×5×2＝44（cm3）.

10．B　将f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位，得函数g(x)＝2sin(2x＋2m－)的图象，则由题意得2×＋2m－＝kπ＋(k∈Z)，即有m＝＋(k∈Z)，∵m>－，

∴当k＝－1时，mmin＝－.

11．C　取PF1的中点M，连结MF2，∵|PF2|＝|F1F2|，

∴F2M⊥PF1，∴|PM|2＋|F2M|2＝|PF2|2，∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a＋2c，∴(a＋c)2＋(2a)2＝(2c)2，解得：c＝，∴e＝.

12．D　依题意，函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a＞0，a≠1)在定义域R上为单调递增函数，且t≥0，而t＝0时，g(x)＝2x不满足条件②，所以t＞0.设存在[m，n]，使得g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，所以即所以m，n是方程(ax)2－ax＋t＝0的两个不等实根，所以Δ＝1－4t＞0，解得0＜t＜，故选D.

13.－　设所求系数为a，则由二项展开式的通项公式，知存在非负整数r，使C(x2)9－r(－)r＝ax9，即(－1)rC·()rx18－3r＝ax9.

所以，得解得r＝3，所求系数为a＝－C＝－.

14．－1　f(m)＝
dx＝(x＋
)＝m＋
－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．

15.1　依题意，||＝||＝||＝，·＝×cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝，∠AOC＝，则||＝||＝||＝，∠BAC＝，·＝×cos∠BAC＝1.

16．3　＋＝tan C(＋)＝tan C·＝＝

＝＝1，变形得＝3.

17．解：(1)∵Sn＋an＝1，Sn＋1＋an＋1＝1，

∴Sn＋1－Sn＋an＋1－an＝0，an＋1＝an，

由S1＋a1＝1得a1＝，∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，

∴an＝()n.(5分)

(2)∵bn＋log2an＝0，an＝()n，∴bn＝－log2an＝logan＝log()n＝n，

∴＝＝－，

∴Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.(12分)

18．(1)证明：∵BP、BA、BC两两垂直，故以B为原点，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，

∵∠PAB＝45°，∴BA＝BP，∴P(0，0，2)．又∵E，F，D分别是BA，BC，AC中点，∴E(1，0，0)，F(0，1，0)，D(1，1，0)．

∴＝(－1，1，0)，＝(1，1，－2)，·＝0，EF⊥PD.(6分)

(2)解：设平面EPF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，＝(0，1，－2)，则n·＝0，n·＝0，

∴令y2＝2，则x2＝2，z2＝1，∴n＝(2，2，1)．

平面PBF的一个法向量为＝(2，0，0)，设二面角E－PF－B的平面角为φ，则cos φ＝＝，sin φ＝，tan φ＝,∴二面角E－PF－B大小的正切值为.(12分)

19．解：(1)众数：8.6；中位数：8.75.(3分)

(2)设Ai表示所取3人中有i个人是“极安全”，至多有1人是“极安全”记为事件A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.(7分)

(3)X的可能取值为0、1、2、3.

P(X＝0)＝()3＝；P(X＝1)＝C()2＝；

P(X＝2)＝C()2＝；P(X＝3)＝()3＝.

分布列为

X

0

1

2

3



P











E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75.(12分)

另解：X的可能取值为0、1、2、3，

X～B(3，)，P(X＝k)＝C()k()3－k.

分布列为

X

0

1

2

3



P

()3

C()1()2

C()2()1

()3



所以E(X)＝3×＝0.75.(12分)

20．解：(1)如图，设抛物线的准线为l，过P作PE⊥l于E，过A作AF⊥l于F.

由抛物线定义知|PF|＝|PE|

?|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AF|，当且仅当A，P，E三点共线取等号．

由题意知|AF|＝8，即4＋＝8?p＝8?抛物线的方程为y2＝16x.(4分)

(2)假设存在点M，设过点M的直线方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

由以BC为直径的圆恰过坐标原点有·＝0?x1x2＋y1y2＝0，　①

把y＝kx＋b代入y2＝16x得k2x2＋2(bk－8)x＋b2＝0，

由韦达定理知　②

又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2，　③

②代入③得y1y2＝，　④

②④代入①得＋＝0?b＝－16k.(9分)

?动直线方程为y＝kx－16k＝k(x－16)必过定点(16，0)．

当kBC不存在时，直线x＝16交抛物线于B(16，－16)，C(16，16)，仍然有·＝0，

综上：存在点M(16，0)满足条件．(12分)

21．解：(1)F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝2(x－)＝(x＞0)，

令F′(x)＝0，得x＝(x＝－舍)，

∴当0＜x＜时，F′(x)＜0，F(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，F′(x)＞0，F(x)在(，＋∞)上单调递增．

∴当x＝时，F(x)有极小值，也是最小值，

即F(x)min＝F()＝e－2eln＝0.

∴F(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)，最小值为0.（6分）

(2)由(1)知，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点(，e)，

∴猜想：一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点(，e)处的公切线，

其方程为y＝2x－e.

下面证明：当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立．

∵f(x)－(2x－e)＝(x－)2≥0，∴f(x)≥2x－e对x＞0恒成立．

又令G(x)＝2x－e－g(x)＝2x－e－2eln x，∴G′(x)＝2－＝，

∴当0＜x＜时，G′(x)＜0，G(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，G′(x)＞0，G(x)在(，＋∞)上单调递增．

∴当x＝时，G(x)有极小值，也是最小值，

即G(x)min＝G()＝2e－e－2eln ＝0，∴G(x)≥0，即g(x)≤2x－e恒成立．

故存在一次函数y＝2x－e，使得当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立.（12分）

22．解：(1)连结AB，∵∠APO＝30°，

∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB，∴∠ABO＝60°.

∵∠ABC＝∠AEC，∴∠AEC＝60°.(5分)

(2)由条件知AO＝2，过A作AH⊥BC于H，AH＝.

在Rt△AHD中，HD＝2，∴AD＝.

∵BD·DC＝AD·DE，∴DE＝.∴AE＝AD＋DE＝.(10分)

23．解：(1)设动点A的直角坐标为(x，y)，则∴动点A的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，其轨迹是圆心为(2，－2)，半径为3的圆．(5分)

(2)直线C的极坐标方程ρcos(θ－)＝a化为直角坐标方程是x＋y＝2a，由＝3，得a＝3或a＝－3.(10分)

24．解：(1)由f(x)≤a，得≤x≤.

因为不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1}，所以解得a＝1.(5分)

(2)由g(x)＝

＝的定义域为R知：对任意实数x，有|2x－1|＋|2x＋1|＋m≠0恒成立．

因为|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，所以m＞－2.(10分)