2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学理

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

已知集合
则

A．
　B.
　C.
　D.

2.已知复数Z满足
则Z=

A．
　　B.
　　　C.
　　D.

3.若变量
满足约束条件
的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=

A．8 　　B.7 　　　　C.6 　　　　　 D.5

4.若实数k满足
则曲线
与曲线
的

A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 　D.焦距相等

5.已知向量
则下列向量中与
成
夹角的是

A．（-1,1,0）　B. （1,-1,0）　C. （0,-1,1）　D. （-1,0,1）

6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

A、200,20　　　　B、100,20　　C、200,10　　D、100,10

7、若空间中四条两两不同的直线
，满足
，则下列结论一定正确的是

A．
B．
C．
既不垂直也不平行 D．
的位置关系不确定

8.设集合
，那么集合A中满足条件“
”的元素个数为

A．60 B90 C.120 D.130

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式
的解集为 。

10．曲线
在点
处的切线方程为 。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。

12．在
中，角
所对应的边分别为
，已知
，

则
。

13．若等比数列
的各项均为正数，且
，

则
。

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为
和
＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为＿＿

15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则
＝＿＿＿

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（12分）已知函数
，且
，

（1）求
的值；

（2）若
，
，求
。

17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中
和
的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。

18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。

（1）证明：CF⊥平面ADF；

（2）求二面角D－AF－E的余弦值。

19. （14分）设数列
的前
和为
,满足
，且
。

(1)求
的值;

(2)求数列
的通项公式;

20. （14分）已知椭圆
的一个焦点为
，离心率为
，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点
为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

21.（本题14分）设函数
，其中
，

（1）求函数
的定义域D；（用区间表示）

（2）讨论
在区间D上的单调性；

（3）若
，求D上满足条件
的
的集合。