2014年通辽市高三420模拟考试

数学试卷参考答案(文科)

1．D　由题意可知U＝，A∪B＝，所以 U＝.

2．C　＝＝－1＋2i.

3．B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.

4．A　由题意知椭圆的一个焦点为(－2，0)，则m＝22＋2＝6，则椭圆C的长轴长为2.

5. C　y＝sin(x＋)y＝sin(x＋)y＝sin(x＋)．

6．B　约束条件对应的区域如图所示．当直线z＝2x＋y过点A(2，2)时，z取得最大值6，当直线z＝2x＋y经过B(1，1)时，z取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2，选B.

7．D　
>?
>2－2?x2－x－2<0，解得－1

8．A　k＝2，S＝4；k＝3，S＝11；k＝4，S＝26；k＝5，S＝57，输出结果，判断框内填“k＞4？”．

9．B　∵a＝log＜log＝，b＝log＞1，＜c＝()0.3＜1，∴b>c>a.

10．D　由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个底面积为×4×5、高为2的三棱柱组合而成，其体积V＝1×4×6＋×4×5×2＝44（cm3）.

11．C　∵直线AB与渐近线y＝－x平行，∴∠BOF＝∠BFO(O为坐标原点)，设F(c，0)，则点B坐标为(，)，∵＝，∴点A是BF的中点，即A(，)，将点A的坐标代入到双曲线方程得－＝1?e＝.

12．B　f′(x)＝sin x－，当x∈(，)时，sin x∈(，1]，∈(，)，则当x∈(，)时，f′(x)＝sin x－＞0，即函数y＝f(x)在(，)单调递增，即f(a)＜f(b)．

13．－1　f(8)＝2?loga9＝2?a＝3，则f(f(80))＝2cos＝－1.

14.
∵
∴
则

15．　∵AB＝BC＝，AC＝2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆的圆心在边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1⊥平面ABC，所以点D是射线O1O与球的交点时四面体ABCD的体积最大．设球的半径为R，则由体积公式O1D＝2，在Rt△AOO1中，R2＝1＋ (2－R)2，解得R＝，∴球O的表面积S＝.

16. 　∵a2＝b2－bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝bc，cos A＝＝，

∵·＝3，∴||·||＝，又sin A＝，则S△ABC＝.

17．解：(1)∵{an}为等差数列，设公差为d，

由题意得(a4－d)(a4＋2d)＝(2－d)(2＋2d)＝－8，解得d＝－2或d＝3.

若d＝3，则a2＝a4－2d＝2－6＝－4<0(舍去)；

若d＝－2，则a2＝a4－2d＝2＋4＝6>0，

∴d＝－2，∴an＝2－2(n－4)＝10－2n.(5分)

(2)由(1)知bn＝()an＝()n－5，

∴Sn＝＝32[1－()n].(12分)

18．解：(1)由题意知：P＝＝.

设演讲比赛小组中有x名男同学，则＝，∴x＝1，∴演讲小组中男同学有1人，女同学有3人.

把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种.

其中恰有一名女同学的情况有6种，所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P＝＝.(7分)

(2)1＝×(69＋71＋72＋73＋75)＝72，

2＝×(70＋71＋71＋73＋75)＝72，

s＝×[(69－72)2＋(71－72)2＋(72－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝4，

s＝×[(70－72)2＋(71－72)2＋(71－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝3.2.

因此第二个演讲的同学成绩更稳定.(12分)

19．解：(1) ∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC，

∴BC⊥AA1.（1分）

又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面AA1C1C，（3分）

又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4分）

(2)(法一)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（7分）

理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连结AG.

∵B1E＝3EC1，∴EG＝A1C1，

又AF∥A1C1且AF＝A1C1，

∴AF∥EG且AF＝EG，

∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，（10分）

又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

(法二)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（9分）

理由如下： 在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连结FG.

∵EG∥BB1，EG?面A1ABB1，BB1?面A1ABB1，

∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，

∴FG∥AB，又AB?面A1ABB1，FG?面A1ABB1，

∴FG∥平面A1ABB1.

又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面A1ABB1.（11分）

∵EF?面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

20. 解：(1) 由条件知lAB：y＝x－，则消去y得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.

又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.(5分)

(2)由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设M(，y0)，则M到AB的距离为d＝，因点M在直线AB的上方，所以－y＋y0＋＞0，

则d＝(－y＋y0＋)＝[－(y0－p)2＋p]．

由x2－3px＋p2＝0知A(p，(1－)p)，B(p，(1＋)p)，

所以(1－)p＜y0＜(1＋)p，则当y0＝p时，dmax＝p.

则(S△ABM)max＝·4p·p＝p2.(12分)

21. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，

又f′(x)＝－2x＋1＝－，

令f′(x)＝0，即－＝0，解得x＝－或x＝1.又x>0，∴x＝1.

当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.

∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．

∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)＝ln 1－12＋1＝0.

当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0.

∴函数f(x)只有一个零点.（6分）

(2)显然函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝－2a2x＋a＝＝.

①当a＝0时，f′(x)＝＞0，∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意；

②当a>0时，f′(x)＜0，得x＞，∴≤1，即a≥1；

③当a<0时，f′(x)＜0，得x＞－，∴－≤1，a≤－.

综上，实数a的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).（12分）

22．解：(1)连结AB，∵∠APO＝30°，

∴∠AOB＝60°.

∵OA＝OB，∴∠ABO＝60°.

∵∠ABC＝∠AEC，∴∠AEC＝60°.(5分)

(2)由条件知AO＝2，过A作AH⊥BC于H，AH＝.

在Rt△AHD中，HD＝2，∴AD＝.

∵BD·DC＝AD·DE，∴DE＝.

∴AE＝AD＋DE＝.(10分)

23．解：(1)设动点A的直角坐标为(x，y)，则∴动点A的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，其轨迹是圆心为(2，－2)，半径为3的圆．(5分)

(2)直线C的极坐标方程ρcos(θ－)＝a化为直角坐标方程是x＋y＝2a，由＝3，得a＝3或a＝－3.(10分)

24．解：(1)由f(x)≤a，得≤x≤.

因为不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1}，所以解得a＝1.(5分)

(2)由g(x)＝

＝的定义域为R知：对任意实数x，有|2x－1|＋|2x＋1|＋m≠0恒成立．

因为|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，所以m＞－2.(10分)