龙岩一中2014届高考模拟试卷

数学（理科）

（考试时间：120分钟 满分：150分 ）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．复数
的共轭复数为( )

Ａ．
　　　　　　Ｂ．
Ｃ．
D．

2．已知命题
；命题
不等式
恒成立，那么( )

A．“
”是假命题 B．
是真命题

C．“
或
”为假命题 D．“
且
”为真命题

3．右图是2014年在某市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为( )

A．84，4.84 B．84，1.6

C．85，1.6 D．85，4

4．若
，则目标函数
的取值范围是( )

A．[2，5] B．[1，5] C．[
，2] D．[2，6]

5．阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是( )

A．计算数列
前5项的和 B．计算数列
前5项的和

C．计算数列
前6项的和 D．计算数列
前6项的和

6．已知m，n为异面直线，m⊥平面
，n⊥平面
．直线l满足l⊥m， l⊥n，
，
，则( )

A．
与
相交，且交线平行于
B．
与
相交，且交线垂直于

C．
∥
，且
∥a D．
⊥
，且
⊥

7.设
为等差数列
的前
项和，若
，公差
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

8．抛物线
上一点
到直线
的距离与到点
的距离之差的最大值为( )

A．
B．
C．3 D．5

9．在平面直角坐标系中,
为坐标原点,点
,将向量
绕点
按逆时针方向旋转
后得向量
,若向量
满足
，则
的最大值是( )

A．
B．
C．
D．

10．已知
，
，
，映射
.对于直线
上任意一点
，
，若
，我们就称
为直线
的“友好映射”，
称为映射
的“友好直线”.又知
，则映射
的“友好直线”有多少条( )

A．无数 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．已知函数
的

部分图象如图所示，则

12．过双曲线
的一个焦点
作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段
为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .

13．如图,正四棱锥
中，
，
是边
的中点，动点
在 四 棱锥的表面上运动，且总保持
，点
的轨迹所围成的图形的面积为
,若以
的方向为主视方向，则四棱锥
的主视图的面积是 .

14．若
对任意的
都成立，则
的最小值 为 　　 ．

15. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中
，
，
，若A、B、C中的元素满足条件：
，
，
1,2，…，
，则称
为“完并集合”.

对于“完并集合”
，则集合C的个数是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16． (本小题满分13分)

如图，在
中，
，
，
，点
是
的中点, 求:

（1）边
的长；（2）
的值和中线
的长.

17．(本小题满分13分)

某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况，从各班抽取了一批学生进行测试，全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试，成绩均分为A，B，C，D，E五个等级. 某考场考生两项测试成绩的数据统计如下图所示，其中“理论部分”科目测试成绩为B的考生有20人.

（1）求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为A的人数；

（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生 “理论部分”科目的平均分；

（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

18．(本小题满分13分)

如图，
是以
为直径的圆
上异于
的点，平面
平面
，
，
，
分别是
的中点，记平面
与平面
的交线为直线
．

（Ⅰ）求证：直线

平面
；

（Ⅱ）直线
上是否存在点
，使直线
分别与平面
、直 线
所成的角互余？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分13分)

设椭圆
的中心和抛物线
的顶点均为原点
，
、
的焦点均在
轴上，过
的焦点F作直线
，与
交于A、B两点，在
、
上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求
，
的标准方程；

（2）若
与
交于C、D两点，
为
的左焦点，求
的最小值。

























20．(本小题满分14分)

已知函数
。

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线与直线
平行，求实数
的值

（Ⅱ）对任意的
，若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围

（Ⅲ）若函数
与
的图像关于直线
对称，设


，试根据如图所示的曲边梯形
的面积与两个直角梯形
和
的面积的大小关系，写出一个关于
和
的不等式，并加以证明。

21．(本小题满分14分)

本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

设矩阵
．

（Ⅰ）若
，求矩阵M的逆矩阵
；

（Ⅱ）若曲线C：
在矩阵M的作用下变换成曲线
：
，

求
的值．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为
(
，
为参数）．已知曲线C上的点M(1，
)及对应的参数
＝
．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若点
，
在曲线C上，求
的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

在平面直角坐标系中，定义点
、
之间的直角距离为
，

点
，
，

（Ⅰ）若
，求
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，不等式
恒成立，求
的最小值.

龙岩一中2014届高考模拟试卷理科数学参考答案

1~5．DCCAC 6~10：ADBBC 11.
12.
13. 4 14.
15. 3

10提示：设直线
的方程为
，由
，代入可得
，即
，可得
解得：
， 故有2条直线

15题提示： 解：因为
而
，
，
1,2，…，
，所以
，且
，
的最小值为 6所以
或
或

16. 解：由
可知
是锐角，所以
.3分

由正弦定理

………6分

(2)

……9分

由余弦定理:
…13分

17．解：（1）因为“理论部分”科目中成绩等级为B的考生有20人，

所以该考场有
人，所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为A的人数为
………4分

(2)（i） 求该考场考生“理论部分”科目的平均分为

…6分

法二：

（ii）设两人成绩之和为
，则
的值可以为16，17，18，19，20

，

，

所以
的分布列为

16

17

18

19

20





15/45

12/45

13/45

4/45

1/45



……………11分

所以
所以
的数学期望为

………13分

18. （1）证明：
分别为
中点，
，又

……2分 又
，
…4分

又

……6分

（2）解：以
为坐标原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为