乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.

2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知A={x∈N|x≤6}, B={x∈R|x2?3x > 0|}，则A∩B=

A. {3, 4, 5} B. {4, 5, 6} C. {x|3 < x ≤6} D. {x|3≤x <6}

2.复数 在复平面内对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.设函数
，若f (x) > 1，则x的取值范围是

A.（-1，1） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1）∪（1，+ ∞） D.（-∞，-2）∪(0, + ∞)

4.已知sin2α = ??，且α∈( , π)，则sinα =

A.  B. 

C.?-  D. -?

5.执行如图的程序框图，若输出的S = ，则输入的整数p的值为

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

6.在△ABC中，AC·cosA = 3BC·cosB，且cosC =，则A=

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

7.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为

A.  B.  C. 20 D. 40

8.若f(x) = 3sinx ? 4cosx的一条对称轴方程为x = a，则a的取值

范围可以是

A. ( 0,  ) B. ( ,  ) C. ( ,  ) D. ( , π )

9.已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数f(x+1)的图象关于

( 1, 0 )对称，函数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是

A. f(?x) = f(x) B. f(x ?2) = f(x + 6) C. f(?2 + x) + f(?2 ?x) = 0 D. f(3 + x) + f(3 ??x)=0

10.函数f(x) = ? eax (a>0, b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2?y2?1相切，则a+b的最大值是

A. 4 B. 2 C.  D. 2

11.A, B, C, D在球O的表面上，且AB = BC=2，AC = 2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为

A.  B. 8π C. 9π D. 12π

12.已知双曲线  -? =1 (a>0, b>0)的中心为O，过其右焦点F的直线与两条渐近线交于A，B两点，与同向，且FA⊥OA，若|OA|+|OB|=2|AB|，则此双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D. 

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.
二项展开式中的常数项为 ；

14.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C1和C2的方程分别为  + y2 = 1和  +  = 1，射线OA与C1和C2分别交于点A和点B，且 = 2，则射线OA的斜率为 ；

15.定义在R上的函数f(x)单调递增，且对任意x∈(0, + ∞)，恒有f(f(x)?log2x) = 1，则函数f(x)的零点为 ；

16.已知直线l与函数y=x2的图象交于A，B两点，且线段AB与函数y = x2的图象围成的图形面积为，则线段AB的中点P的轨迹方程是 .

三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的前n项和为Sn, a1=3, 且3S1 , 2S2 , S3成等差数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=log3an，求Tn=b1b2 - b2b3 + b3b4 - b4b5 + … + b2n-1b2n - b2nb2n+1

18.（本题满分12分）

已知正三棱柱ABC –A1B1C1中，AB = 2，AA1 = .

点F，E分别是边A1C1和侧棱BB1的中点.

（Ⅰ）证明：FB⊥平面AEC；

（Ⅱ）求二面角F-AE-C的余弦值.

19.（本题满分12分）

某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立.

（Ⅰ）求某应聘人员被录用的概率；

（Ⅱ）若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列和数学期望.

20.（本题满分12分）

已知抛物线y2 = 2px (p > 0)的交点为F，过H（?  , 0）引直线l交此抛物线于A，B两点.

（Ⅰ）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；

（Ⅱ）若p=2，点M在抛物线上，且 +  = t ，求t的取值范围.

21.（本题满分12分）

已知函数f(x) = 1?ln(x?1) , g(x) = ax2 ??x + 1.

（Ⅰ）求证：1?x ≤ f(x) ≤ ；

（Ⅱ）当0≤x≤1时，若f(x) ≥ g(x)恒成立，求a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑，满分10分

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，点A为圆外一点，过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，ADE是圆的一条割线，连接CD, BD, BE, CE。

（Ⅰ）求证：BE·CD = BD·CE

（Ⅱ）延长CD，交AB于F，若CE∥AB，证明：F为线段AB的中点

23.（本题满分10分）选修4 ??4：坐标系与参数方程

已知曲线C的参数方程是( θ为参数 )，以直角坐标系xoy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+ sinθ) = 4

（Ⅰ）试求曲线C上任意点M到直线l的距离的最大值；

（Ⅱ）设P是l上的一点，射线OP交曲线C于R点，又点Q在射线OP上，且满足|OP|·|OQ|=|OR|2，当点P在直线l上移动时，试求动点Q的轨迹.

24.（本题满分10分）选修4 ??5：不等式选讲

已知a , b , c∈R+，证明：

（Ⅰ）( a + b + c )( a2 + b2 + c2 ) ≤ 3( a3 + b3 +c3 )；

（Ⅱ） +  +  ≥ 

乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

B

B

C

A

C

B

B

D

D

C

C

B



1.选B.【解析】∵
，
∴

2.选B.【解析】∵
，对应的点为
在第二象限

3.选C.【解析】由
知
或
，分别解之，得
或
.

4.选A.【解析】∵
，∴
，且
，

又
，∴
，∴

5.选C.【解析】∵
，此时
，为使输出的
，必须有
，所以

6.选B.【解析】由题意及正弦定理得
，∴
，

∴
，又
，故
，∴
，而
，

∴
，即
，将
代入，

得
，∴
，或
，而
，故

7.选B.【解析】此几何体的直观图如图所示，

∴

8.选D.【解析】依题意，有
，即
，其中
且
，∴
，即
，
，由
且
，得
，∴
，
，故，选D（此时
）.

9.选D.【解析】令
，∵其图象关于
对称，∴
，

即
，∴
…⑴

令
，∵其图象关于直线
对称，∴
，

即
，∴
…⑵

由⑴⑵得，
，∴
…⑶

∴
，由⑵得

∴
；∴A对；

由⑶，得
，即
，∴B对；

由⑴得，
，又
，

∴
，∴C对；

若
，则
，∴
，

由⑶得
，又
，∴
，即
，与题意矛盾，∴D错.

10.选C.【解析】∵
，
，∴
的图象在
处的切线方程为

，它与圆
相切，∴
，即
，∵
时有
，∴
，∴
的最大值是
，此时
.

11.选C.【解析】设
的外接圆的圆心为
，由
，
，知
，∴点
为
的中点，∴
，设直线
交球
于
和
，不妨设点
在线段
内，∴
为四面体
高的最大值，

∴
，依题意知，
，即
，当且仅当点
与
重合时，
取最大值，此时
，由
，得
，∴
，∴
.

12.选B.【解析】不妨设
的两条渐近线
的方程分别为
和
则右焦点
到直线
的距离
，又由
，得
，∵
，∴
…①

∵
，∴
…②，①②联立，解得

在
中，
，而
且

∴
，即
，解得
，或
（舍）

∴
，即
，∴离心率

二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.

13.填
.【解析】∵
，令
，即
，

∴常数项为

14.填
.【解析】设点
，由
，得
，

又∵点
在椭圆
上，∴
，∴
…①，

∵点
在椭圆
上，∴
…②，由①②可得
.∴射线
的斜率为
．

15.填
.【解析】依题意，有
，
是常数. ∴
，即
，易知
，∴
，令
，解得