2014重庆高考压轴卷

数学（理）

一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）

1．设复数满足关系
，那么等于 （ ）

A．
B.
C.
D.

2．直线
的位置关系为 （ ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切

3．
（ ）

A． 20 B. 30 C． 25 D． 40

4. 已知
，则“
”是 “
”的 （　　）

A．充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．函数
的一个单调增区间是 （ 　　）A．
B．
C．
D．

6．已知向量
，且
，则实数等于 （ ）

A.
B.
C. D.

7．实数
满足条件
则该目标函数
的最大值为 ( )

A．10 B．12 C．14 D．15

8．已知函数
若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，

则数k的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.数列
中，
则
( )

A.
B.
C.

D.4

10.等比数列
中，
，
=4，函数
，则
=
（ ）

A．
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）

11．过点M
且被圆
截得弦长为8的直线的方程为

12．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于 ；

13．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有 个．(用数字作答)

考生注意：（14）（15）（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14．若曲线的极坐标方程为p=
，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 。

15.设圆O的直径AB=2，弦AC=1，D为AC的中点，BD的延长线与圆O交于点E，则弦AE=

16．不等式
对一切非零实数
均成立，则实数的范围为 ．

三、解答题：（本大题6个小题，共75分）

17．(本小题满分13分)

在
中，角
所对的边分别为
，且满足
，
．

（1）求
的面积； （2）若
，求
的值。

18．（本小题满分13分）

已知数列
的首项
，
．

（1）求证：数列
为等比数列；

（2） 记
，若
，求最大的正整数．

19．（本小题满分13分）

若a＝(cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，其中ω>0，记函数f(x)＝(a＋b)·b+k.

(1)若f(x)图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求ω的取值范围．

(2)若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)的最大值是，求f(x)的解析式。

20．(本小题满分12分)

已知抛物线C
，F为抛物线的焦点，点
。

（1）设过F且斜率为1的直线L交抛物线C于A、B两点，且|AB|=8，求抛物线的方程。

（2）过点
作倾斜角互补的两条直线,分别交抛物线C于除M之外的D、E两点。求证：直线DE的斜率为定值。

21.(本小题满分12分)

设函数
，
。（1）当
时，求
的单调区间。（2）设
是
的导函数，证明：当
时，在
上恰有一个
使得
。

22．(本小题满分12分)

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点Q（2，
）在椭圆上。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且
，求△OAB的面积的取值范围。

（3）过M（
）的直线

与过N（
）的直线

的交点P（
）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G，H两点，求

的值。

数学（理）参考答案

一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）

1 A 2 D 3 A 4 A 5 A 6 B 7 A 8 A 9 C 10C

二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）

11
12 —4 13 288

14
15 16

三、解答题：（本大题6个小题，共75分）

17
,
,

又
，
，

而
所以
，

所以
的面积为：

（2）由（1）知
，而
，所以

所以

,

18．（1）∵
，∴
，

且∵
，∴
，

∴数列
为等比数列．

（2）由（1）可求得
，∴
．

若
，则
，∴
．

19[解析]　∵a＝(cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)

∴a＋b＝(cosωx＋sinωx，sinωx)．

故f(x)＝(a＋b)·b＋k＝sinωxcosωx＋sin2ωx＋k

＝sin2ωx＋＋k

＝sin2ωx－cos2ωx＋＋k

＝sin＋k＋.

(1)由题意可知＝≥，∴ω≤1.

又ω>0，∴0<ω≤1.

(2)∵T＝＝π，∴ω＝1.

∴f(x)＝sin＋k＋.

∵x∈，∴2x－∈.

从而当2x－＝，即x＝时，

fmax(x)＝f＝sin＋k＋＝k＋1＝，

∴k＝－，故f(x)＝sin.

20

21解：（1）当
时，
-

当
时，
；当
时，

所以函数
的减区间是
；增区间是
-

（2）（ⅰ）

当
时，
；当
时，

因为
，所以函数
在
上递减；在
上递增

又因为
，

所以在
上恰有一个
使得
.

22解（1）因为椭圆E
（a>b>0）过M（2，
） ，2b=4

故可求得b=2,a=2
椭圆E的方程为

（2）设P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为
，

解方程组
得
,即
,

则△=
,

即
（*）

,
要使
,需使
,即
,

所以
, 即
①

将它代入（*）式可得

P到L的距离为

又

将
及韦达定理代入可得

当
时

由
故

当
时,

当AB的斜率不存在时,
,综上S

（3）点P（
）在直线

和
：
上，

，

故点M（
）N（
）在直线
上

故直线MN的方程，
上

设G，H分别是直线MN与椭圆准线，
的交点

由
和
得G（-4，
）

由
和
得H（4，
）

故

=-16+

又P（
）在椭圆E：

有
故

=-16+
=-8