2014 届莆田一中高三考前模拟试卷理科数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1.如图，在复平面内，复数
对应的向量分别是
则
=（ ）

A．2 　　 B.3 　　 C.
D.

2．抛物线
的焦点坐标为 ( )

A．
B．
C．
D．

3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 设随机变量
服从正态分布
,若
,则
( )

A．3 B．
C．5 D．

5. 设函数
，等比数列
中，
，则
（ ）

A. -9 B. -8 C. -7 D. -10

6． 若函数
，则使得“函数
在区间
内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）

.

.

.

.

7.设
为曲线
上任一点，
，则下列命题正确的是：（ ）

A.
B.
C.
D.

8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )

A．20 B.22 C.24 D. 36

9．已知
均为单位向量，且满足
，则
的最大值为（ ）

10.已知函数
，把函数
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 ( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11. 把函数
的图象向____平移 ____个单位长度就可得到函数y=sin2x的图象。

12.已知
___ ．

13．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b，则方程
有实数根的概率是___ ．

14.已知函数
是定义在R上的奇函数，
，且当
则不等式
的解集为____.

15. 如图，A是两条平行直线之间的一定点，且点A到两条平行直线的距离分别为
。设
,
,且顶点B、C分别在两条

平行直线上运动，则
面积的最小值为_____,
的最大值为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答要写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16 .(本小题满分13）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，

(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；

(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；

(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.

17．（本小题满分13分）

如图，在三棱锥
中，
底面
，
，
为
的中点，
为
的中点，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
成角的正弦值；

（Ⅲ）设点
在线段
上，且
，
平面
，

求实数
的值.

18. (本小题满分13分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间
（秒）的变化规律大致可用
（
为时间参数，
的单位：
）来描述，其中地面可作为
轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为
轴。

（Ⅰ）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（Ⅱ）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

19．(本小题满分13分)

已知椭圆C:
(
)的离心率为
,点(1,
)在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 在x轴上是否存在一定点E，使得对椭圆C的任意一条过E的弦AB，

为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分14分）

已知f(x)=ex-t(x+1).

(Ⅰ)若f(x)≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；

(Ⅱ)设
，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：
(n∈N*).

21．（本题满分14分）

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选两题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换如图，矩形
在变换
的作用下变成了平行四边形
，变换
所对应的矩阵为
，矩阵
是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵。 (Ⅰ)求
；(Ⅱ)判断矩阵
是否存在特征值。

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为

（
为参数）,M是C1上的动点，P点满足
,P点的轨迹为曲线C2，

(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)在以O为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式：
的整数解有且仅有一个值为2.

（Ⅰ）求整数
的值;

（Ⅱ）已知
，若
，求
的最大值

2014届莆田一中高三理科数学模拟试卷参考答案及评分参考

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 10. C

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．左，
12.40 13．
14.
15.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

解: （Ⅰ） ………3分

（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.………6分

（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是
，

则
，
，

，
……………9分

分布列为

 0

 1

 2

 3















…11分

答：人数x均值为 .………………13分

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为
底面
，
底面
，

所以
， ………… 1分

又因为
，
， 所以
平面
，………… 2分

又因为
平面
， 所以
. ……… 3分

因为

是
中点，所以
，

又因为
，所以
平面
. …………… 5分

（Ⅱ）解：在平面
中，过点
作

因为
平面
，所以
平面
，

由
底面
，得
，
，
两两垂直，

所以以
为原点，
，
，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，则
，
，

，
，
，

设平面
的法向量为
， 因为
，
，

由
得
令
，得
.………… 7分

设
与平面
成角为
， 因为
，

所以
，即
. …… 9分

（Ⅲ）解：因为
，
， 所以
，

又因为
，所以
. … 11分

因为
平面
，平面
的法向量
，

所以
， 解得
. ……… 13分

18.【解析】：（1）当
时，

因
时，
，故
，

从而当
，即当
时，
有最大值5，

所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是
； ……6分

（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：
，（
）

问题转化为在
，
的条件下，求
的最大值。 …8分

法一：
，由
和
及
得：

………12分

法二：∵
，
，

=

∴当
，即
，
，由
可解得：
。

答：花坛的长为
，宽为
，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。 ……………13分

19.解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为
(
)，
①

点(1,
)在椭圆C上,
② ,

由①②得:
，
椭圆C的方程为
， ……………… 4分

(Ⅱ)设
，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，
，

则
，即

解得
，∴E若存在必为
,定值为6. ………6′

下证
满足题意。 设过点E
的直线方程为
，代入C中得:

，设
、
，

则
，
………8′

.………12分

同理可得E
也满足题意。 综上得定点为E
，定值为
…13分

20.（1）
(x>0)恒成立。

设
(x≥0)，则

∴
在
时单调递增，
（x=1时取等号），

∴t≤1 ………4分

（2）设x1、x2是任意的两实数，且x1

，故

设
，则F(x)在R上单调递增， ………7分

即
恒成立。

即对任意的t≤-1，x∈R，
恒成立。

而

故m<3 ………9分

（3）由（1）知，

取
，则

∴
(n∈N*) ………14分

21. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

解：（Ⅰ）设
，则

故
所以
，

，
，

（Ⅱ）因为矩阵MN的特征多项式

的判别式小于0，故矩阵
不存在特征值。

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

（I）设P(x,y),则由条件知M(
).由于M点在C1上，所以

即
从而
的参数方程为
（
为参数）

（Ⅱ）曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
.

射线
与
的交点
的极径为
，

射线
与
的交点
的极径为
.所以
.

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

（ I ）
，得

不等式的整数解为2，

又不等式仅有一个整数解2，
……3分

（Ⅱ）显然

由柯西不等式可知：

所以
即

当且仅当
时取等号，最大值为
………7分