福州一中2013-2014学年度校质检

(文科)数学试卷 2014.5

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

（满分150分 考试时间120分钟）

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1.设复数
, 若
为纯虚数,则实数
=

A.
B.
C.1 D.

2.下列导数运算正确的是

A.
B.

C.
D.

3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它

的公差为

A．－2 B．－3 C．－4 D．－6

4.运行下面的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是

A. 120 B. 720 C. 1440 D. 5040

5.将一个总体分为A, B, C三层,其个体数之比为5:2:3,若用分层抽样

抽取容量为200的样本,则应从C中抽取的个体数是

A. 20 B. 40 C. 60 D. 80

6.将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移
个单位,所得函数图像的一条对称轴为

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
则下列图象错误的是

8.如图,在正方体
中,点E在
上且
,点F在AC上且

, 则
与
的位置关系是

A. 相交不垂直 B. 相交垂直

C. 异面 D. 平行

9.已知A、B为平面内两定点, 过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,

若
, 其中
为常数, 则动点M的轨迹不可能是

A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

10.已知
分别为双曲线
的左、右焦点, P为双曲线右支上一点,满足
, 直线
与圆
相切, 则该双曲线的离心率是

A.
B.
C.
D.以上都不正确

11.已知
, 现有下列不等式:

①
; ②
; ③
;

④
; 其中正确的是

A. ②④ B.①② C.③④ D.①③

12.设A是整数集的一个非空子集,对于
, 如果
且
, 那么称
是A的

一个“孤立元素”. 现给定集合
由
的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.式子
的值为__________________________.

14.设命题
. 命题
. 若
是
的充分不必要条

件.则实数
的取值范围是____________________________.

15.设点
是区域
内的随机点,

记

,

则事件A发生的概率是_____________________________. 1/3

16.如图所示, △ABC是边长为1的正三角形，且点P在边BC上运动. 当
取得最

小值时，则
的值为________________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知等差数列
中，
是它前
项和，设
.

(I)求数列
的通项公式；

(II)若从数列
中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第
项，……，按取出的

顺序组成一个新数列
，试求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次预赛,成绩记录如下:

(I)用茎叶图表示这两组数据;

(II)现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参赛更合适? 并说明理由.

19.（本小题满分12分）

在
中,角
所对的边分别为
, 且
满足:

,

(I)若
, 求
的面积;

(II)求
的值.

20.（本小题满分12分）

如图,在四棱锥
中,底面ABCD是边长为3的正方形,平面PCD⊥底面ABCD,E是

PC的中点.

(I)求证:
;

(II)若
,求证:平面
平面
;

(III)若侧棱
,PD=4.求
以PA为轴旋转所围成的几何体体积.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
，直线

恒过的定点
为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3.

（I）求椭圆
的方程；

（II）若直线
为垂直于
轴的动弦，且
均在椭圆
上，定点
，直线

与直线
交于点
．

①求证：点
恒在椭圆
上； ②求
面积的最大值．

22.(本小题满分14分)

已知函数
有两个极值点
且

(I)求实数
的取值范围,并写出函数
的单调区间;

(II)判断方程:
根的个数并说明理由;

(III)证明:
.

高三 (文科)数学校质检试卷答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

C

B

C

C

B

D

C

B

D

A





第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．
_________ ;　　 14． __
_____ ;

15．
;　　 16． ____
______ .

三、解答题:本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）设数列
.则由已知得:

①，
② …………4分

联立①②解得
…………6分

（Ⅱ）
………………9分

所以
………… 12分

18．（本小题满分12分）

解: (1)作出的茎叶图如下:

…………4分

(2)派甲参赛比较合适. 理由如下:

…………5分

…………6分

……8分

……10分

∵
∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ……12分

19．（本小题满分12分）

解: (1)由已知:


, 可得:
,

∵
即
.………… 2分

在
中,由余弦定理得:

解得:
或
(舍去); ………… 4分

∴
.………… 6分

(2)原式=
…… 9分

=
………… 12分

20．（本小题满分12分）

解: (1)连接AC交BD于O, 连接EO.

∵ABCD是正方形, ∴O为AC中点, 已知E为PC的中点,

∴OE//PA. ………2分

又∵OE
平面BDE, PA
平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分

(2)在
中,
, 即DP⊥PC. ……4分

又已知: 平面PCD⊥底面ABCD, 平面PCD∩平面ABCD=DC BC⊥DC;

∴BC⊥平面PDC, PD
平面PDC, ∴PD⊥BC, ………… 6分

BC与PC相交且在平面PBC内.

∴PD⊥平面PCB, PD
平面PDA, ∴平面PDA⊥平面PCB. ………… 8分

(3)过D作PA的垂线.垂足为H,则几何体为以DH为半径,分别以PH,AH为高的两个圆锥

的组合体. …………9分

侧棱PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5

,…………10分

…………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）直线
可化为

，……1分 由
得
，

，
， ………… 3分

又
，
，

椭圆的方程为
………4分

（2）①设直线
的方程为
，则可设
，且

直线
的方程为
，直线
的方程为
…… 6分

联立求得交点
，…… 7分 代入椭圆方程
得，

，化简得：

点
恒在椭圆
上. ……………… 8分

②直线
过点
，设其方程为
，

联立
得
，

………… 9分

，

令
，则

在
上是增函数，
的最小值为10.

………………………………………12分

22．（本小题满分14分）

解:(Ⅰ)由题设知,函数
的定义域为
,

;…………………1分

且
有两个不同的根, ∴
且
有两个交点.

有两个交点

求得:
∴
的取值范围是
.…………………3分

(也可利用判别式
; 又
).

∵
∴

∴
单调增区间为
和
.

单调减区间为
………………………5分

(Ⅱ)由已知方程:

=0

∴令
,

…………………7分

x







2







+

0

-

0

+







极大值



极小值







时,
;

时,
;

∴
有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分

(III)由(Ⅰ)可知
, ………………………10分

并且由
得:
. ………………………11分

∵
=
,

, 其中
………13分

∴
, 函数
在
递增;

∴
. ………………14分