“四地六校”数学（理科）2014年高考模拟试卷

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：龙海二中 吴志坚

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线
的一个焦点坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．（1，0）

2．已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
的值是（ ）

A．
B．
C．8 D．-8

3．已知为虚数单位，为实数，复数
在复平面内对应的点为M，则“
”是“点M在第二象限”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知具有线性相关的两个变量
之间的一组数据如下：

0

1

2

3

4





2.2

4.3

4.5

4.8

6.7



 且回归方程是
的预测值为（ ）

A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1

5．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为 （ ）

6．已知集合
的二项展开式中存在常数项，则等于（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

7．在区间
上随机取一个数，则事件“
”发生的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知不等式组
表示的平面区域为D，若直线
将区域D分成面积相等的两部分，则实数
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若双曲线
的左右焦点分别为
、
，线段
被抛物线
的焦点分成
的两段，则此双曲线的离心率为( )

A．
B．
C.
D.

10．记集合
，将M中的元素按从小到大排列，则第70个是（ ）

A．0.264 B．0.265 C．0.431 D．0.432

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。

11．已知
。

12．如右图，是一程序框图，则输出结果为 。

13．在
中，角A，B，C的对边分别是
，若
，则A= 。

14．集合
中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为
，如：

，

，

则
　　　　　　　　（写出计算结果）

15．已知函数
对任意的
都有
，函数
是奇函数，当
时，
，则方程
在内所有的根之和等于 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程写在答题卡的相应位置。

16. (本小题满分13分)

设
中的内角，，所对的边长分别为，，，且
,
.

（Ⅰ）当
时，求角的度数；（Ⅱ）求
面积的最大值.

17．（本小题满分13分）

从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。

（1）若抽取后又放回，抽3次，①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；②求抽到红球次数的数学期望。

（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为
的分布列及期望。

18．（本小题满分13分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：
平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（III）求点E到平面ACD的距离。

19．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，短轴端点分别为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。

（I）求椭圆的方程；

（II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M

满足
，连结CM交椭圆于P，

证明
为定值（O为坐标原点）；

（III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由。

20．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）求
处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）数列
，数列
满足
的前项和为
，求证：

21．本题有（1）、（2）、（2）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知
，若矩阵
所对应的变换
把直线
变换为它自身。

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
，（
为参数，
）。

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；

（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数的取值范围。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）当函数
的定义域为R时，求实数的取值范围。

2014届高三数学（理）模拟试卷参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每题5分，满分50分．

1～5 ADCBC 6～10 DBDBA

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每题4分，满分20分．

11．
12．
13．
　　 14．322 15．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. (本小题满分13分)设
中的内角，，所对的边长分别为，，，且
,
（Ⅰ）当
时，求角的度数；（Ⅱ）求
面积的最大值.

解：（Ⅰ）因为
，所以
. …………2分

因为
，
，由正弦定理
可得
. …………4分

因为
，所以是锐角，所以
. ……………6分

（Ⅱ）因为
的面积
， ……… ……7分

所以当
最大时，
的面积最大.

因为
，所以
. ……………9分

因为
，所以
， …… … ……11分

所以
，（当
时等号成立） …… ……12分

所以
面积的最大值为
. ……… …13分

17．解：（1）抽1次得到红球的概率为
，得白球的概率为
得黑球的概率为

① 所以恰2次为红色球的概率为
…………2分

抽全三种颜色的概率
…………4分

②～B(3,
),
…………6分

（2）
的可能取值为2，3，4，5
,
,…………8分

，
……10分

即分布列为：

2

3

4

5



P











…………11分

…………13分

18．方法一：

（I）证明：连结OC

在
中，由已知可得

而


即

平面

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在
中，

是直角
斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为

（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在
中，

而

点E到平面ACD的距离为

方法二：

（I）同方法一。

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的大小为

（III）解：设平面ACD的法向量为
则

令
得
是平面ACD的一个法向量。

又
点E到平面ACD的距离

19．1）如图，由题知
，
……3分

(2）C(-2,0),D(2,0),则可设
…5分

…………9分

（3）设
，由题知
成立

使得以MP为直径的圆恒过DP、MQ的交点 ………………13分

20．本题主要考查函数与导数，函数图象与性质，数列等基础知识；考查学生抽象概括能力，推理论证能力，创新能力；考查函数与方程思想，有限与无限思想，分类与整合思想．满分14分．

解：（Ⅰ）
，
，切点是
，

所以切线方程为
，即
．　 -----------------3分

（Ⅱ）（法一）
，

当
时，
，
，
单调递增，

显然当
时，
，
不恒成立．　　 -------------------4分

当
时，
，
，
单调递增，

，
，
单调递减，　　 -----------------------------6分

，
，

所以不等式
恒成立时，的取值范围
　　 --------------------8分

（法二）
所以不等式
恒成立，等价于
，

令
，则
，

当
时，
，
单调递减，

当
时，
，
单调递增．　　 ---------------------------------6分

，
．

所以不等式
恒成立时，的取值范围
． ---------------8分

（Ⅲ）
，
，

，

， ---------------------10分

由（2）知，当
时，
恒成立，即
，当且仅当
取等号．

　，
，

……
， ---------------------12分

，

令
，

则
，

，

，
． ---------------------------14分

21．（1）本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．

解： （Ⅰ） 法一：设
为直线
上任意一点其在的作用下变为

则

--------------------3 分

代入
得：

其与
完全一样得

则矩阵
---------------------------------5分

法二：在直线
上任取两点（2、1）和（3、3）， ---------------1分

则
,即得点
,

,

即得点
, ------------------------------------------------3 分

将
和
分别代入
得

则矩阵
． ---------5 分

（Ⅱ）因为
，所以矩阵M的逆矩阵为
． -------------7分

（2）本题考查直线与圆的极坐标与参数方程，极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想及数形结合思想．

解：（Ⅰ）曲线
的极坐标方程为
,

∴曲线
的直角坐标方程为
． ---------------------------------------------------3分

（Ⅱ）曲线
的直角坐标方程为
,为半圆弧，

如下图所示，曲线
为一族平行于直线
的直线， ------------4分

当直线
过点时，利用
得
，

舍去
，则
，

当直线
过点、两点时，
， ------------6分

∴由图可知，当
时，

曲线
与曲线
有两个公共点． -----------------------7分

（3）本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识，考查推理论证能力及运算求解能力．

解：（Ⅰ）当
时，要使函数
有意义，

有不等式
成立，------------------① -----------------------1分

当
时，不等式①等价于
，即
，∴
；-------------------2分

当
时，不等式①等价于
，即
，∴
； ---------------3分

当
时，不等式①等价于
，即
，∴
； --------------4分

综上函数
的定义域为
． ---------------------------------------5分

（Ⅱ）∵函数
的定义域为, ∴不等式
恒成立，

∴只要
即可，又∵
（
或
时取等号），

即
，∴
． ∴的取值范围是
．----7分