2014年三明市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据
，…，
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中为球的半径

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数满足
(其中为虚数单位)，则复数为

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3．观察下列关于两个变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为

A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关

C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关

4． 设
是两条不同直线，
是两个不同平面，下列四个命题中正确的是

A．若
与所成的角相等，则
B．若
，
，
，则

C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则

5．在二项式
的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含
项的系数是

A．－56 B．－35 C． 35 D．56

6．设
且
，命题：函数
在上是增函数 ，命题：函数
在上是减函数，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

8．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一

点，则点落在四面体内的概率为

A．
B．

C．
D．

9．已知函数
则函数
的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

10．在数列
中，
，且
，
，若数列
满足
，则数列
是

A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．

11．曲线
与直线
及轴所围成的图形的面积是 ．

12．执行如图所示的程序框图，若输入的
，则输出的结

果是__ __．

13．已知变量
满足约束条件
若
取整数，则

目标函数
的最大值是 .

14．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最

大值为 .

15．对于集合，如果定义了一种运算“
”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：

（ⅰ）
，都有
；

（ⅱ）
，使得对
，都有
；

（ⅲ）
，
，使得
；

（ⅳ）
，都有
，

则称集合对于运算“”构成“对称集”．

下面给出三个集合及相应的运算“”：

①
，运算“”为普通加法；

②
，运算“”为普通减法；

③
，运算“”为普通乘法．

其中可以构成“对称集”的有 ．（把所有正确的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分13分)

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：
，
，
，
，
，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：

(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设
为合格产品的数量，求
的分布列和数学期

望
；

(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．

17．(本小题满分13分)

如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
,
，

平面
平面
,若

，
，
,

，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设平面
与平面
所成二面角的

大小为
，求
的值．

18．(本小题满分13分)

已知点
是抛物线
上不同的两点，点在抛物线
的准线
上，且焦点

到直线
的距离为
.

(I）求抛物线
的方程；

(Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线
过焦点；②直线
过原点
；③直线
平行轴．

请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.

19．(本小题满分13分)

若函数
，非零向量
，我们称
为函数
的“相伴向量”，
为向量
的“相伴函数”.

（Ⅰ）已知函数
的最小正周期为
，求函数
的“相伴向量”；

（Ⅱ）记向量
的“相伴函数”为
，将
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移
个单位长度，得到函数
，若
，求
的值；

（Ⅲ）对于函数
，是否存在“相伴向量”？若存在，求出
“相伴向量”；

若不存在，请说明理由.

20．(本小题满分14分)

已知函数
，
，且
在点

处的切线方程为
.

(Ⅰ）求
的值；

(Ⅱ）若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求的取值范围；

(Ⅲ）设
为两曲线
，
的交点，且两曲线在

交点
处的切线分别为
.若取
，试判断当直线
与轴围成等腰三角形时

值的个数并说明理由.

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

若二阶矩阵
满足：
.

(Ⅰ）求二阶矩阵
；

(Ⅱ）若曲线
在矩阵
所对应的变换作用下得到曲线
，求曲线
的方程.

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系
中，圆
的方程为
．以原点
为极点，以轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．

(Ⅰ）求直线
的直角坐标方程和圆
的参数方程；

(Ⅱ）求圆
上的点到直线
的距离的最小值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若存在实数
，使得
成立，求实数的取值范围．

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理科数学试题参考解答及评分标准

一、选择题

1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C

二．填空题：

11．
12．62 13．5 14．
15．①、③

三、解答题：

16．解：（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为

． ………………………………………2 分

所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为
． ……………………3 分

则
可能的取值为0,1,2， 　………………………………4分

所以
,
,
，

因此
的分布列为

0

1

2













…………7分

故
数学期望
． ………………9分

(Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为
， ……………10分

所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为

． …………………………………13分

17．解：（Ⅰ）因为
，
，所以
， ………1分

在
中，由余弦定理
，

得
， ……………………………………3分

，
， ………………………………………………4分

， ………………………………………………………5分

又平面
平面
，平面
平面
,
平面
，

平面
． ……………………………………………………6分

(Ⅱ）如图，过
作
交
于，则
，
，
两两垂直，以为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系
， …………………………7分

则
，
，

………8分

，

，……………………9分

设平面
的一个法向量为
，

由
得
即

取
则
，

所以
为平面
的一个法向

量． ……………………………11分

平面
,
为平面
的

一个法向量．

所以