“四地六校”数学（文科）2014年高考模拟试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：龙海二中 姚跃宣

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、
（ ）

2、已知为虚数单位，为实数，复数
在复平面内对应的点为
，则“
”是“点
在坐标轴上”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3、设向量
是同一平面内所有向量的一组基底，若

则实数
的值为（ ）

A、2 B 、-2 C、
D、

4、若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）

A．6 B．
C．
D．

5、如图所示，执行右边的程序框图，输出的y= ( )

A、 3 B 、 5 C、 7 D、9

6、设l、m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A． 若
，
，则
B． 若
，
，则

C． 若
，
，则
D． 若
，
，则

7、若x,y满足约束条件
，则2x-y的最小值为（ ）

A、-6 B 、 -4 C、 -3 D、-1

8、已知直线
与轴，轴分别交于
两点，若动点
在线段
上，则
的最大值为（ ）

A、 B、2 C、3 D、

9、
（ ）

A、14 B 、 15 C、 16 D、21

10、已知定义在R上的函数f(x)满足
（ ）

A、0 B 、 2010 C、 -2010 D、2014

11、设双曲线
的离心率为
，右焦点为
，方程
的两个实根分别为
和
，则点P（
，
）（ ）

A. 在圆
外 B. 在圆
上

C. 在圆
内 D.不在圆
内

12、

（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置．

13、如图所示,函数y=f(x)在点P处的切线方程是y=-x+8,

则f(5)+f′(5)=　　　 　?.

14、为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据

整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前
个

小组的频率之比为
，其中第小组的频数为
，则报考飞行员

的总人数是 ．

15、若函数
的零点是抛物线
焦点的横坐标，则
．

16、在计算“
”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：
由此得

…

相加，得

类比上述方法，请你计算“
”，

其结果为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.

18、（本小题满分12分）

某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．

(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；

(2)面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若两个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其他情况下获B类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一名同学获得该高校B类资格的概率．

19、（本小题满分12分）

已知在
中，
所对的边分别为
，若
且
．

(Ⅰ)求角A、B、C的大小；

(Ⅱ)设函数
，求函数
的单调递增区间，并指出它相

邻两对称轴间的距离．

20、（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.

(1)求证：CF∥平面AB1E；

(2)求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高．

21、（本小题满分12分）

已知椭圆E:
+
=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为
.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足
=
+
,证明
·
为定值,并求出该值.

22、（本小题满分14分）)

已知函数f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间与极值；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

“四地六校”数学（文科）2014年模拟试卷 参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

 C

C

B

B

A

B

C

C

A



二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13、　 2 　　 14、　 48

15、 　
　 16、　

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.

因为
所以
…… 2分

解得a1=1,d=
. …… 4分

所以{an}的通项公式为an=
. …… 6分

(2)因为bn=
=
=
-
, …… 8分

所以Sn=(
-
)+(
-
)+…+(
-
)=
. …… 12分

18.解：　(1)设第i(i＝1,2，…，8)组的频率为fi，则由频率分布直方图知

f7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12.

所以成绩在260分以上的同学的概率P≈＋f8＝0.14，

∴2 000×0.14＝280，

故这2 000名同学中，取得面试资格的约为280 …… 6分

(2)不妨设两名同学分别为M，N，且M的笔试成绩在270分以上，则对于M，答题的可能有M11，M10，M01，M00，对于N，答题的可能有N11，N10，N01，N00，

其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N10表示N同学第一题正确，第二题错误．

M11

M10

M01

M00



N11

AB

BB

BB

CB



N10

AB

BB

BB

CB



N01

AB

BB

BB

CB



N00

AC

BC

BC

CC



将两名同学的答题情况列表如下：

表中AB表示M获A类资格，N获B类资格；

BC表示M获B类资格，N没有获得资格．

所以恰有一名同学获得该高校B类资格的概率为＝. …… 12分

19. 解：(Ⅰ)由题设及正弦定理知:
,

得
，

∴
或
,即
或
． ……4分

当
时,有
, 即
,得
,
;

当
时,有
,即
，不符题设，

∴
,
． ……7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:
；

当
时,
为增函数，

即
的单调递增区间为
. ………11分

它的相邻两对称轴间的距离为
. ………12分

20. 解析：　(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，

∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝BB1.

∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，

∴CF∥EG，∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E. …… 6分

(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.

又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，

∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，

∴VA－EB1C＝S△EB1C·AC＝××1＝.

∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，∵VC－AB1E＝VA－EB1C，

∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为＝. …… 12分

21. 解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),

又椭圆以抛物线焦点为顶点,∴a=2, 又e=
=
,∴c=1,∴b2=3.

∴椭圆E的方程为
+
=1. …… 4分

(2)由(1)知,F(-1,0),

由
消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l与椭圆交于两点,∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1、x2是上述方程的两个根,∴x1+x2=-
,x1·x2=
, …… 6分

又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=

∴
=
+
=（-
,
）, …… 8分

由点P在椭圆上,得
+
=1.整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),∴
=(-3,-4k+m). …… 10分

∴
·
=（-
,
）·(-3,m-4k)

=
+
=
+
=
=
.

即
·
为定值
. …… 12分

22.解：(1)∵f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]，

令f′(x)＞0，得＜x＜e，f′(x)＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的单调增区间是，单调减区间为.

∴f(x)的极小值为f＝－ln＝＋ln 2.无极大值． …… 4分

(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]有最小值3，f′(x)＝2ax－＝.

①当a≤0时，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上单调递减，

∴f(x) min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝(舍去)．

②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ ，(ⅰ)当0＜ ＜e，即a＞时，

f(x)在上单调递减，在上单调递增

∴f(x)min＝f＝－ln＝3，得a＝.

(ⅱ)当≥e，即0＜a≤时，x∈(0，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上单调递减，∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝(舍去)，此时f(x)无最小值．

综上，存在实数a＝，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3. …… 14分