2014年三明市普通高中毕业班质量检查

文 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据
，…，
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中为球的半径

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．设是虚数单位，那么复数
等于

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，则
为

A．
B．
C．
D．

3．观察下列关于变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是

A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关

C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关

4．命题：“
，都有
”的否定是

A．
，都有
B．
，都有

C．
，使得
D．
，使得

5．函数
的单调递增区间是

A．
B．

C．
D．

6. 某程序框图如图所示，若输入
，则该程序

运行后输出的
值分别是

A．
B.

C.
D.

7．直线
与圆
相交所得线段的长度为

A．
B．

C． D．

8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

9．若
均为区间
的随机数，则
的概率为

A．
B．
C．
D．

10. 对于函数
在定义域内的任意实数及
，都有
及

成立，则称函数
为“函数”.现给出下列四个函数：

；
.

其中是“函数”的是

A．
　　　　　　B．
　　　　　C．
　　　　　　　D．

11．在边长为2的等边
中，是
的中点，为线段
上一动点，则
的取值范

围是

A．
B．
C．
D．

12．设函数
的导函数为
，那么下列说法正确的是

A.若
，则
是函数
的极值点

B. 若
是函数
的极值点，则

C. 若
是函数
的极值点，则
可能不存在

D.若
无实根 ，则函数
必无极值点

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13．在等差数列
中，若
,则
．

14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为

则
______.

15．已知
若直线
与直线
互相垂直，则
的

最小值是 ．

16．定义
表示所有满足
的集合
组成的有序集合对
的个数．试探究
，并归纳推得
=_________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

某校为了解高一期末数学考试的情况，从

高一的所有学生数学试卷中随机抽取份

试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分

布直方图（如图所示），其中成绩在

的学生人数为6.

（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为

和
这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数

在
恰有1人的概率.

18．（本小题满分12分）

将数列
按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一

个数
构成公差为
的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成

公比为的等比数列.若
，
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求第行各数的和.

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
于点，且
，
，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）

（Ⅲ） 若
，
，

求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
（
）的准线与轴交于点
．

（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；

（Ⅱ）是否存在过焦点的直线
（直线与抛物线交于点，），使得三角形
的面积

？若存在，请求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

设向量

，定义一种向量积
．

已知向量
，
，点
为
的图象上的动点，点

为
的图象上的动点，且满足
（其中
为坐标原点）．

（Ⅰ）请用
表示
；

（Ⅱ）求
的表达式并求它的周期；

（Ⅲ）把函数
图象上各点的横坐标缩小为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数

的图象.设函数


，试讨论函数
在区间
内的零点

个数.

22．（本小题满分14分）

已知函数

为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）若是
的一个极值点，且点
，
满足条件：

.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求证：点，，
是三个不同的点，且构成直角三角形．

2014年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参考解答及评分标准

一、选择题：

1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A

7．D 8．A 9．D 10．A 11．A 12．B

二、填空题：

13．21； 14．1； 15．2； 16．
．

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：样本的众数为75． ……………………………3分

（Ⅱ）由频率分布直方图可得：第三组
的频率：
，

所以
， ………………………………………………………………4分

第四组
的频数：
；

第五组
的频数：
；

用分层抽样的方法抽取5份得：

第四组
抽取：
；第五组
抽取：
． …………7分

记抽到第四组
的三位同学为
，抽到第五组
的两位同学为

则从5个同学中任取2人的基本事件有：

，
，共10种．

其中分数在
恰有1人有：
，共6种．

所求概率：
． ………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）依题意得
，
，

所以
． ……………………………………………2分

又
，
，

所以
的值分别为
． …………………………………6分

（Ⅱ）记第行第1个数为，

由（1）可知：
， ………………7分

又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，

所以第行共有
个数， ………………………………9分

第行各数为以为首项，
为公比的等比数列，

因此其总数的和
． …………………………12分

19．解：（Ⅰ）
，……2分

………………3分

（Ⅱ）因为平面
平面
，

且平面
平面
，

平面
，
，

所以
平面
， ……………6分

又
平面
，

所以平面
平面
．…………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
平面
．

法一：
中，


，

由正弦定理
，得
，

因为
，所以
，则
，因此
， …………8分

△
的面积
． …………………………10分

所以三棱锥
的体积

． …………………………12分

法二：
中，
，

，由余弦定理得：

，所以
，

所以
． …………………………………8分

△
的面积
． ……………10分

所以三棱锥
的体积

． ……………………12分

20．解法一：（Ⅰ）由已知得：
，从而抛物线方程为
，

焦点坐标为
． ……………………4分

（Ⅱ）由题意，设

，并与
联立，

得到方程：