2014福建省高考压轴卷理科数学

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差
锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、已知全集
集合
,
，下
图中阴影部分所表示的集合为

A.

B.

C.
D.

2、下列命题正确的是

A．存在x0∈R，使得
的否定是：不存在x0∈R，使得
；

B．存在x0∈R，使得
的否定是：任意x∈R，均有

C．若x=3，则x2-2x-3
=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0.

D．若
为假命题，则命题p与q必一真一假

3、已知平面
和直线
，给出条件：①
；②
；③
；④
；

⑤
．为使
，应选择下面四个选项中的（ ）

A．③⑤ B．①
⑤ C．①④ D．②⑤

4、直线
与
在区间
上截曲线
所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（　　）

（A）
（B）

（C）
（D）

5、如图5，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC
的外心，则
的值是(（　　）

A．4
B． 8 C． 6
D．6

6、执行下面的框图，若输入的
是
，则输出
的值是（ ）

A．120 B．720 C．1440 D．5040

7、 如图，设圆弧
与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为
，过圆弧上一点
做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为
.现随机在区域
内投一点
，若设点
落在

区域
内的概率为
，则
的最大值为（ ）

A．
　　 B．
　　C．
　　 D．

8、为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：

（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3，……,100；

（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；

（3）请下列
两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.

如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是

A.88% B. 90% C. 92% D.94%

9、已知F2、F1是双曲线-=1(a>0，b>0)的左右焦点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为

A．3 B． C．2 D．

10、已知
与
都是定义在R上的函数，
，且

，且
，在有穷数列
中，任意取前
项相加，则前
项和大于
的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11、 设常数
.若
的二项展开式中
项的系数为-15,则
_______.

12、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为
，则该几何体的体积是 ．

13、小明在做一道数学题目时发现：若复数

，
(其中
), 则
，
，根据上面的结论，可以提出猜想: z1·z2·z3= ．

14、
若函数
，则
=_______________[来源:学,科,网]

15、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2014项的值是___3_____

[来源:学科网]

三、解答题：共6小题80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16、 (本题满分13分)

下图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天



（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）设Ｘ是此人停留期间空气质量优良的天数，求Ｘ的分布列与数学期望

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17、(本小题满分13分)

已知函数
（
,
,
）,
的部分图像如图所示,
、
分别为该图像的最高点和最低点,点
的坐标为

．

（Ⅰ）求
的最小正周期及
的值；

（Ⅱ）若点
的坐标为
,
,求
的值和
的面积．

[来源:学科网ZXXK]

18、(本小题满分13分)

如图，在圆
上任取一点
，过点
作
轴的垂线段
，
为垂足．设
为线段
的中点．

（Ⅰ）当点
在圆
上运动时，求点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）若圆
在点
处的切线与
轴交于点
，试判断直线
与轨迹
的位置关系．

19、（本题满分13分）

如图所示，在边长为
的正方形
中，点
在线段
上，且
，
，作



，分别交
，
于点
，
，作


，分别交
，
于点
，
，将该正方形沿
，
折叠，使得
与
重合，构成如图所示的三棱柱
．

(1)求证：
平面
；

(2)若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为
,求|BE|的最小值.

20、(本小题满分14分)

设
(
是自然对数的底数，
)，且
．

（Ⅰ）求实数
的值，并求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设
，对任意
，恒有
成立．求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若正实数
满足
，
，试证明：
；并进一步判断：当正实数
满足

，且
是互不相等的实数时，不等式

是否仍然成立．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转
的变换
所对应的矩阵为
,将每个点横、纵坐标分别变为原来的
倍的变换
所对应的矩阵为
．

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵
；

（Ⅱ）求曲线
先在变换
作用下，然后在变换
作用下得到的曲线方程．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数）．

（Ⅰ）分别求出曲线
和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点
在曲线
上，且
到直线
的距离为1，求满足这样条件的点
的个数．

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知
，且
．

（Ⅰ）试利用基本不等式求
的最小值
；

（Ⅱ）若实数
满足
，求证：
．

2014福建省高考压轴卷理科数学参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、【答案】 B

解析：由图可以得到阴影部分表示的集合为
，

={2，3，4，5}，则
={1} 选A

2、【答案】 C

解析：命题的否定和否命题的区别:对命题的
否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论。

A选项对命题的否定是： 存在
,使得

0；

B选项对命题的否定是 ： 存在
，均有

1
0；

D选项则命题p与q也可能都是假命题。

故选C

3、【答案】 D

4、【答案】 D

解析：由

得
所以
刚好为一个周期区间，由函数的周期性可设直线y=5在点
，

截曲线的弦长与直线y=-1在点
，
截曲线的弦长相等可得到方程
解得n=2

又直线y=5截曲线的弦长与直线y=-1截曲线的弦长相等且不为0，则可得m>3. 故选D

5、【答案】 B

6、【答案】 B

解析：执行完程序框图得到的最终结果是
.故选B

7、 【答案】 D

解析:由图像和三角形相关知识得到当所围三角形为等腰直角三角形，当切点A为等腰直角三角形斜边中点时概率P最大。可求的此时等腰三角形边长为
，N面积为1 ; M面积为
,P=
。故选D.

8、【答案】 B

解析:B

9、【答案】 C

解析：画出图形根据双曲线的性质和圆的有关知
识可以得到
，故选C.LIE

10、【答案】 A

解析：
可知
,
同号

由
得
又
得
解得a=
或a=2

①a=
时，
=
可知
是以首项为
，公比为
的等比数列，则前k项
和为

=
令
>
解得K=5 所以前五项相加和才大于

② a=2时，
=
可知
是以首项为2公比为2 的等比数列则前k项和

=
显然k=1 时2>
.

联立①②得概率为
。故选A

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11、【答案】 -3

解析：二项式展开式第r项为
含x的项为
令10-3r=7 则r=1 所以

解得

12、【答案】

解析:由三视图可得原图形是由三菱锥和半球组成的几何体，由题可得半球的体积为[来源:Zxxk.Com]

三菱锥的体积为
所以该几何体的体积为

+
=

13、【答案】

解析：运用推理

14、【答案】2014

解析：
=

=

=