2014福建省高考压轴卷文科数学

参考公式：

样本数据
,
,…,
的标准差：

，其中
为样本平均数；

柱体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

锥体
体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；[来源:学科网]

球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，则
=

A．{5} B．{1，2，3，4，5} C．{1，3，5} D．

2. 已知i为虚数单位，则
＝（ ）

A．
B．
C .
D.

3. 已知平面向量
, 且
, 则
( )

A.
B.
C.
D.

4.已知命题
：(
，
，则下列说法正确的是（ ）

A．
：(
，
，且
为假命题

B．
：(
，
，且
为真命题

C．
：(
，
，且
为假命题

D．
：(
，
，且
为真命题

5.如图给出的是计算
的值的一个

程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．

C．
D．

6.已知直线
经过坐标原点，且与圆
相切，切点在第四象限，则直线
的方程为( )

A.
B.
C.
D.

7.记集合
和集合
表示的平面区域分别为
，若在区域
内任取一点
，则点M落在区域
的概率为

A．
B．
C．
D．

8.若变量
满足约束条件
且
的最大值为
,最小值为b，则
的值是

A．10 B．20 C．4 D．12

9．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的部分图象如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）

A．①④②③ B．①④③②　 C．④①②③　 D．③④②①

10. 若某多面体的三视图（单位: cm）如图所示,

则此多面体的体积是 （ ）

A．
cm3 B．
cm3

C．
cm3 D．
cm3

11．已知双曲线
的一条渐近线与函数
的图象相切，则双曲线
的离心率等于（ ）

　A．
　　　　B．

　　　　C．
　　　　D．

12．已知函数
的定义域为
，若常数
满足：对任意正实数
，总存在
，使得
成立，则称
为函数
的“渐近值”．现有下列三个函数：①
；②
；③
．

其中以数“1”为渐近值的函数个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空
题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．

13．某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为
，为了解高中学生身体素质，采用分层抽样，共抽取一个100人的样本，则样本中高一学生人数为__ ____人.

14．已知
的值为__________.

15．已知sin

，则
.

16．设
是已知的平面向量，向量
，
,
在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题:

①给定向量
,总存在向量
,使
;

②给定向量
和
,总存在实数
和
,使
;

③给定单位向量
和正数
,总存在单位向量
和实数
,使
;

④若
=2，存在单位向量
、
和正实数
，
,使
，则

其中真命题是_______
_____.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．

17. （本小题满分12分）

某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

（Ⅱ）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷
中，至少有一份试卷的分数在
之间的概率；

(Ⅲ) 根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩．

18．(本小题满分12分)

如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

19．（本小题满分12分）

已知实数
，且
按某种顺序排列成等差数列．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若等差数列
的首项和公差都为
，等比数列
的首项和公比都为
，数列
和
的前
项和分别为
，且
，求满足条件的自然数
的最大值．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ
）若点
为
曲线
:
上任一点（
点不同于
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线
的位置关系，并证明你的结论．

21. (本小题满分12分)

如图，
，
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
，
分别是
，
的中点，
．

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)证明：
；

(Ⅲ)假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥
内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.

22． (本题满分14分)

已知函数
(
).

(Ⅰ)若
,求函数
的极值;

(Ⅱ)设
．

① 当
时,对任意
,都有
成立,求
的最大值;

② 设
的导函数.若存在
,使
成立,求
的取值范围.

2014福建省高考压轴卷文科数学参考答案

1．【答案】A

解析：
={1,5} 则
={ 5} 故选A

2. 【答案】B

解析：
, 故选B

3. 【答案】C

解析：
可得m+4=0 解得
则
，故选C

4. 【答案】D

解析：否命题，既否定假设，又否定结论。二次函数
的判别式为

<0 则二次函数大于0恒成立。故选D

5. 【答案】A

解析：将上面四个选项逐项代入检验。选A

6. 【答案】D

解析：由题意可设直线l的方程为y=kx ,因为直线与圆相切 将y=kx 代入
得到(1+
)

4x+3=0的判别式

解得
，又切点在第四象限 因此
,故选D

7. 【答案】A

解析：由题意可得平面
的面积分别为
，
则概率P 为
，故选A

8. 【答案】C

解析：画出线性规划图可得最大值在（4,4）处取得a=12 ,最小值在（8,0）处取得 b=

则
的值是4 ，故选C

9．【答案】A

解析：由函数性质可得
为偶函数，则可得第一个图形
的图象；

②③均为奇函数，但③在
时函数值也小于0故第四个图形为
的图象；

则第三个图形为
的图象；第二个图形为
的图象。故选A[来源:学&科&网Z&X&X&K]

10. 【答案】C

解析：略

11．【答案】D

解析：曲线
的一条渐近线为
，设
与函数
在点
处相切 则
在点
处的导数值为

即
=
所以
=
。进而可得在
=
处函数
的值为 1。

.因为点（
，1）为两个函数切点，点（
，1）也在函数
上代入可得

=
即
又
可得
所以e=
,故选D[来源:Zxxk.Com]

12．【答案】C

解析: ①③符合题意。

二、填空题：

13．【答案】24

解析：由题意得高一高二高三人数为480 ，72
0 ，800 三者的比为6：9:10 则样本中高一人数为
人

14．【答案】3

解析：由分段函数
=1 ,
=3 所以
=3

15．【答案】

解析：

16．【答案】①②④

解析:特殊值代入和排除法。

三、解答题：

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）分数在
的频率为
，由茎叶图知：分数在
之间的频数为
，所以全班人数为
， ………2分

∴分数在
之间的人数为
人，则对应的频率为
． ………3分

所以
间的矩形的高为
． ………4分

（Ⅱ）将
之间的
个分数编号为
，
之间的
个分数编号为
，

在
之间的试卷中任取两份的基本事件为：
，
，

，
，
，
，
，

，
，
，
，
，

，
，
共
个． ………6分

其中，至少有一份在
之间的基本事件有
个，

故至少有一份分数在
之间的概率是