第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上．

1．复数
的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．若集合
，
，则“
”是“
”的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

3．已知等差数列
的公差为
，且
，若
，则为

A．
B．
C．
D．

4．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

A． 84,4.8 B． 84,1.6 C． 85,4 D． 85,1.6

5．已知抛物线
的焦点恰好为双曲线
的上焦点，则=

A． B．

C．
D．

6．右面的程序框图输出
的值为

A．
　 B．

C．
D．

7．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为

A．
B．

C．
D．

8．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是

A．
或
B．
C．
D．
或

9．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，mα，nβ，则α∥β

C．若m∥n，m∥a，则n∥α

D．若m∥n，m⊥a，n⊥β，则α∥β

10．定义在R上的偶函数
满足：对任意的

，有

恒成立. 则当
时，有

A．
B．

C．
D．
11．将奇函数
的图像向左平移
个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为

A． B．
C． D．

12．把数列一次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，按第四个括号一个数…，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25) …，则第50个括号内各数之和为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．注意把解答填入到答题卷上．

13．已知
中，
，
，
，则
的值为 ．

14．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图3

所示，则该几何体的侧面积为 cm．

15．已知x和y满足约束条件
则

的取值范围为 ．

16．若
，则可写出满足条件的一个函数解析式
类比可以得到：若定义在R上的函数

，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意把解答填入到答题卷上．

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
,
,且

(Ⅰ) 求证:对任意
,
为常数
,并求出这个常数
;

（Ⅱ）
,求数列{bn}的前n项的和.

18．（本小题满分12分）

已知
(x∈R).

(Ⅰ)求函数
的最小值和最小正周期；

(Ⅱ)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝
，f (C)=0，若向量m＝(1,sinA)与向量n＝(2,sinB)共线，求a，b的值.

19．（本小题满分12分）

有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．

（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；

（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？

20．（本题满分12分）

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的

直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，
是

的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有

关数据如图所示.

(Ⅰ)求出该几何体的体积。

(Ⅱ)若是
的中点，求证：
平面
；

(Ⅲ)求证：平面
平面
.

21．（本题满分12分）

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，是椭圆
+
=(a＞b＞0)上的两点，已知向量m=(
，
)，n= (
，
)，若m·n=0且椭圆的离心率e=
，短轴长为2，O为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由..

22．（本小题满分14分）

已知定义在正实数集上的函数
,
（其中为常数，
）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同。

(Ⅰ)求实数
的值;

(Ⅱ)当
时,
恒成立,求实数的取值范围.

参 考 答 案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号

１

２

３

４

５

６

７

８

９

10

11

12



答案

D

B

B

D

C

B

C

D

D

A

D

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.
　　　14.
　　　　15.
　　　　16.

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)
且
,相减得:
,（
）

，
．　

又
，
，
．
．
．………6分

(Ⅱ)

…………………………………………12分

18.（本小题满分12分）

解：(Ⅰ) f (x)=
sin2x-
-
=sin(2x-
)-1 …………………………………3分

则f (x)的最小值是-2，最小正周期是T=
=π.

(Ⅱ) f (C)=sin(2C-
)-1=0，则sin(2C-
)=1，

∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴-
＜2C-
＜
π，

∴2C-
=
，C =
， ……………………………………………………8分

∵向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线

∴
=
， ……………………………………………………………………10分

由正弦定理得，
=
①

由余弦定理得，c2 =a2 +b2 -2abcos
，即3=a2 +b2 –ab ②

由①②解得a=1，b=2. ……………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）用
（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共16个；……3分

设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：
、
、
、
、
、
，共有6个；则
…………………………6分

（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C;事件B所包含的基本事件有：
、
、
、
，共有4个；则

…………………………10分

，所以这样规定不公平. …………………11分

答：（Ⅰ）甲获胜的概率为
;（Ⅱ）这样规定不公平. …………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥
中，

平面
平面
，

所以，
平面
………………………2分

又
，

则四棱锥
的体积为：
…………4分

(Ⅱ)连接
，则

又
，所以四边形
为平行四边形，
…………6分

平面
,
平面
,

所以，
平面
； ……………8分

(Ⅲ)
,是
的中点,

又平面
平面

平面
……………………10分

由(Ⅱ)知：

平面

又
平面

所以，平面
平面
. ………………………12分

21. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)2b=2.b=1，e=

椭圆的方程为
………………………4分

(Ⅱ)(1)当直线AB斜率不存时，即x1=x2，y1= -y2，由
＝0

………………………6分

又A(x1,y1)在椭圆上，所以

S＝

所以三角形的面积为定值 ……………7分

(2)当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b

得到x1+ x1=

………………………8分

代入整理得：

2b2- k2 =4 ………………………10分

所以三角形的面积为定值. ……………………12分

22. （本小题满分14分）

解： (Ⅰ)
,
……………………2分

设函数
与
的图象有公共点为

由题意得
……………………4分

解得:
……………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

所以
，即

当
时，
，且等号不能同时成立，

所以,则由(1)式可得
在
上恒成立 ……………………9分

设
,

又
…………………11分

显然有
又

所以
(仅当
时取等号)，
在
上为增函数 …………………12分

故

所以实数的取值范围是
. …………………14分