福州一中2013-2014学年度校质检高三数学理试题卷　　

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1. 已知命题
：
，
．则
是

A．
，
B.
，

C．
，
D.
，

2. 设集合
，
，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

3. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为

A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

4. 设变量
满足约束条件
，则
的最大值为

A.
B. 3 C. 4 D. 6

5. 在等差数列
中，已知
则
等于

A．40　　　　　　 B．42　　　　　　 C．43　　　　　 D．45

6. 若
，则
等于

A．
B．
C．
D．

7. 函数
的图象

A．关于
轴对称 B．关于
轴对称 C．关于直线
对称 D．关于原点对称

8. 已知平面
外不共线的三点
到
的距离都相等，则正确的结论是

A．平面
必平行于
　　　B．平面
必与
相交

C．平面
必不垂直于
　　D．存在
的一条中位线平行于
或在
内

9. 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为
，记它们其中的一个交点为
，且
，则该椭圆离心率
与双曲线离心率
必定满足的关系式为

A．
B.
C．
D.

10．设
为集合
的
个不同子集
，为了表示这些子集，作
行
列的数阵，规定第
行与第
列的数为
则下列说法正确的个数是

①数阵中第1列的数全是0当且仅当
; ②数阵中第
列的数全是1当且仅当
;

③数阵中第
行的数字和表明元素
属于
中的几个子集;

④数阵中所有的
个数字之和不小于
; ⑤数阵中所有的
个数字之和不大于
.

A．2 B. 3 C．4 D. 5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．若复数
，则
的共轭复数
＝___________.

12．已知多项式
，且满足

，则正整数
的一个可能值为___________.

13．已知圆
，直线
，在圆C上任取一点
，则点
到 直线
的距离小于2的概率为________．

14. 已知
，则
___________.

15.已知两个非零向量
和
所成的角为
，规定向量
，满足：?

（1）模：
；

（2）方向：向量
的方向垂直于向量
和
（向量
和
构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量
的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度
到向量
的方向，大拇指所指的方向就是向量
的方向.?

这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积.

对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是___________.

①
; ②
等价于
和
共线; ③叉乘运算满足交换律，即
;

④叉乘运算满足数乘结合律，即
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

16．（本小题满分13分）

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
，学校规定上学所需时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿.

（Ⅰ）求频率分布直方图中
的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；

（Ⅲ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以住宿的学生当中随机抽取3人，记
为其中上学所需时间不低于80分钟的人数，求
的分布列及其数学期望.

17. （本小题满分13分）

已知几何体
的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（Ⅰ）求二面角
的余弦值;

（Ⅱ）试探究在棱
上是否存在点
，使得
，若存在，求出
的长；若不存在，请说明说明理由.

18. （本小题满分13分）

如图，直角三角形
中，
，
．点
分别在边
和
上(
点和
点不重合)，将
沿
翻折，
变为
，使顶点
落在边BC上(
点和B点不重合).设
．

（Ⅰ）用
表示线段
的长度，并写出
的取值范围；

（Ⅱ）求线段
长度的最小值．

19. （本小题满分13分）

已知抛物线
的顶点为坐标原点,其焦点
到直线
:
的距离为
.

（Ⅰ）求抛物线
的方程;（Ⅱ）若
是抛物线
上异于原点的任意一点，圆
与
轴相切.

（i）试证：存在一定圆
与圆
相外切，并求出圆
的方程；

（ii）若点
是直线
上任意一点，
是圆
上两点，且
，求
的取值范围.

20. （本小题满分14分）

已知函数
的图象在点
(
为自然对数的底数)处的切线斜率为3．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值；

（III）若
，证明：

．

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
，
，

（Ⅰ）求二阶矩阵
，使
；

（Ⅱ）求圆
在矩阵
变换下的曲线方程.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
，已知过点
的直线
的参数方程为：
，直线
与曲线
分别交于
．

（Ⅰ）写出曲线
和直线
的普通方程；

（Ⅱ）若
成等比数列，求
的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
为正实数.

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数
的最小值.

福州一中高考模拟数学试卷（2014年5月）参考答案（理科）

一．选择题

BACDB BADCC 二．填空题 11.
；12. 4；13.
；14. 1；15. ①②④

三．解答题

16.解：（I）由直方图可得：
.所以
. …3分

（II）设中位数为
，则
，解得
所以中位数估计为30分钟. ……6分

（III）依题意得
，
的所有可能取值为0,1,2,3, .……………7分

.……………11分

所以
的分布列为

0

1

2

3















所以
的数学期望是
..……………13分

17. 解：（I）由三视图知，
两两两垂直，以
为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系．……………1分

则
（4，0，0），
（0，4，0），
（0，4，1），
（0，0，4）

∴
，

……………3分

设面
的法向量为
，面
的法向量为

则有
，即
，取
得
，

，即
，取
得
，……………… 6分

设二面角
的大小为
，由图可知
为钝角

故

∴二面角
的余弦值为
．…………………………… 8分

（II）∵点
在棱
上，∴存在
使得
………………… 9分

同理
………………… 11分

即
解得

所以满足题设的点
存在，
的长为1.…………………………13分

18. 解：（I）设
，则
．在
中，
，………2分

∴
．………4分∵点
在线段
上，
点和
点不重合，
点和
点不重合，

∴
．…………5分

（II）在
中，
，
,

．…………… 8分

令

………………… 11分

∵
， ∴
．

当且仅当
，即
时，
有最大值
. ∴
时，
有最小值
．………………… 13分

19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线
的方程为
,由
结合
,解得
. 所以抛物线
的方程为
. …………4分

(Ⅱ) （i）设圆
与
轴的切点是点
,连结
交抛物线
的准线于点
，则
，所以圆
与以
为焦点，1为半径的圆相切，圆
即为圆
，圆
的方程为
;…………8分

(ii)由
可知，
为圆
直径，…………9分

从而

所以
的取值范围是
.…………13分

20.解：（I）因为
，所以
．………………… 1分

因为函数
的图像在点
处的切线斜率为3，

所以
，即
．所以
．………………… 2分

（II）由（1）知，
，所以
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立．

令
，则
，………………… 4分，令

，

则
，所以函数
在
上单调递增．………………… 5分

因为
，

所以方程
在
上存在唯一实根
，且满足
．

当
，即
，当
，即
，6分

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．

所以
．……… 7分

所以
．

故整数
的最大值是3．………………… 8分

（III）由（II）知
，取
，则有

将上面各式相加得

即
，故
，所以

…………………14分

21.（1）解：（Ⅰ）法１：由于
，∴M-1=
,

∴

；…………………3分

（Ⅱ）设圆上任意一点
在矩阵
对应的变换作用下变为
则

　则
，

所以作用后的曲线方程为
.…………………7分

（2）解：（Ⅰ）
…………………4分

（Ⅱ）直线
的参数方程为
（t为参数）,代入
得到
,则有
，因为
，所以
，即
，即
解得
…………………7分

（3）（Ⅰ）证明：
，由柯西不等式得

，等号成立当且仅当
，即
.

所以
.…………………4分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，
，当且仅当
，即
时等号成立.

所以函数
的最小值为1. …………………7分