注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1、如图，在复平面内，若复数
对应的向量分别是
，

则复数
所对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 设等比数列
的公比
，前项和为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
,
,
,则
（ ）

A． B．
C．
D．

4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（　　）
A．
B．
C．
D．

5、已知
为两条不同的直线，为一个平面。若
，则“
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 　 B.必要不充分条件

C. 充要条件 　　D. 既不充分又不必要条件

6．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表：

零件数（个）

10

20

30



加工时间（分钟）

21

30

39



现已求得上表数据的回归方程
中的
值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（　　　）

A．84分钟 B．94分钟 C．102分钟 D．112分钟

7、函数
具有下列特征：
，则
的图形可以是下图中的（　　　）

8、函数
是定义域为R的奇函数，且
时，
，则函数
的零点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

9、已知
外接圆
的半径为，且
．
，从圆
内随机取一个点
，若点
取自
内的概率恰为
，判断
的形状．（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

10． 已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合
是“集合”. 给出下列4个集合：

①
②

③
④

其中所有“集合”的序号是（ ）

（A）②③ ． （B）③④ ． （C）①②④． （D）①③④．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.

11．在
的展开式中的常数项为p，则
.

12．已知实数
满足
若目标函数
取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为 　　.

13．定义一种运算
，在框图所表达的算法中

揭示了这种运算“
”的含义。那么，按照运算“
”

的含义，计算
．

14．已知命题：在平面直角坐标系
中，
的顶点
和
，顶点B在椭圆
上，则

（其中为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系
中，
的顶点
和
，顶点B在双曲线
上，则 ．

15、对于
个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的
行
列的矩形数

阵就是其中之一．

将
个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为
，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为
，并设其中最大的数为
.

两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：

①和
必相等； ②和
可能相等；

③可能大于
； ④
可能大于．

以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分)

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:
.

(I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;

(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
,求
的分布列及数学期望.

17．（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C.。(1)求证：D为棱BB1中点；（2）
为何值时，二面角A －A1D － C的平面角为600。

18．（本小题满分13分）已知向量
向量
与向量
的夹角为
，且
。

（1）求向量
；

（2）若向量
与
共线，向量
，其中、为
的内角，且、、依次成等差数列，求
的取值范围．

19、（本小题满分13分）如图所示，设抛物线
的焦点为
，且其准线与轴交于
，以
，
为焦点，离心率
的椭圆
与抛物线
在轴上方的一个交点为P

（1）当
时，求椭圆
的方程；

（2）是否存在实数，使得
的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由。

20．（本题满分14分）

如下图，过曲线
：
上一点
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴的垂线交曲线
于点
，然后再过
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴的垂线交曲线
于点
，
，以此类推，过点
的切线
与轴相交于点
，再过点
作轴的垂线交曲线
于点
（
N
）．(1) 求
、
及数列
的通项公式；(2) 设曲线
与切线
及直线
所围成的图形面积为
，求
的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列
的前项和为
，求证：

N
.

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换

已知矩阵A＝

把点（1，1）变换成点（2，2）

（Ⅰ）求
的值

（Ⅱ）求曲线C：
在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程。

（2）选修4—4：坐标系与参数方程．

已知曲线C的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
(t为参数，0≤＜).

(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(Ⅱ)若直线
经过点(1,0)，求直线
被曲线C截得的线段AB的长.

（3）选修4-5：不等式选讲

已知函数
,
, 若

恒成立，

实数的最大值为。（1）求实数。（2）已知实数
满足
且
的最大值是
，求的值．

参考答案

三、解答题

17．解：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF。

∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C

∴直线DE⊥面AA1C1C ………3分

又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA1C1C

由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，

又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，

又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝
AA1 ＝
BB1，

所以D点为棱BB1的中点； …………6分

（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝，则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) …………7分

所以，
………8分

设面DA1C的法向量为

则

可取

又可取平面AA1DB的法向量

cos〈
〉
………………10分

据题意有：
，……………………………………12分

解得：
＝
………………………………13分分

(2)解法2：

延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，

过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； ………9分

设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝；

在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG。

在
DBG中，BH ＝
＝
， …………10分

在
CHB中，tan∠CHB ＝
＝
，

据题意有：
＝ tan600 ＝
，

解得：
所以
＝
。 ………………13


１９、解：（1）抛物线
的焦点为
………………１分

椭圆
的半焦距
，离心率
，

所以椭圆
的长半轴长
，短半轴长
　　………………３分

所以椭圆
的方程为
　………………４分

当
时，椭圆
的方程
　　………………６分

（2）假设存在满足条件的实数

由
，解得
　………………８分

，
，
　………………１１分

所以
的三条边的边长分别是
，
，

所以当
时使得
的三条边的边长是连续的自然数………………１３分

20．(1) 解: 由
，设直线
的斜率为
，则
.∴直线
的方程为
.令
，得
， …1分

∴
， ∴
. ∴
.

∴直线
的方程为
.令
，得
. …2分

一般地，直线
的方程为
，

由于点
在直线
上，∴
. …3分

∴数列
是首项为
，公差为