湖北省2014届高三5月高考压轴卷 数学理试题

本试卷分第I卷（选择题）和第 II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟。满分：150分。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．

1、设是虚数单位，
是复数的共轭复数，若
，则
（ ）

A．
B.
C．
D.

2、设
,则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3、某学校用分层抽样的方法从三个年级抽取若干学生，调查“马年春节”学生参加社会实践活动情况，有关数据如下（单位：人）：

年级

年级人数

年级人数



高一

1080





高二

1350





高三

900

20



则和的值分别为（ ）

A.24,50 B.24,30 C.30,24 D.30,50

4、执行如图所示的程序框图（算法流程图），则输出结果是（ ）

A．
B.
C.
D.

5、已知
，则
的最小值为（ ）

A．10 B．8 C．9 D．7

6、在
中，内角
的对边分别是
，若
且
，则
的值为（ ）

A．
B.
C．
D.

7、若数列
的首项为3，
为等差数列且
，若
,
,则
（ ）

(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11

8、在平面直角坐标系
中，过定点
的直线
与曲线
交于点
，则
（ ）

A． B．
C． D．

9、函数
，当
时，恒有
成立，则实数的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

10、正方体
的8个顶点中任取4个连接构成的三棱锥中，满足任意一条棱都不与其表面垂直的三棱锥的个数（ ）

A.22 B.24 C.26 D.28

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）必考题（11—14题）

11、某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是

12、若实数
满足
，且
的最大值为

13、已知双曲线
的中心在原点，且左、右焦点分别为
,以
为底边作正三角形，若双曲线
与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线
的离心率为

14、函数
的定义域为D，若存在闭区间
，使得满足：
在
上是单调函数且在
上的值域为
，则称区间
为函数
的“和谐区间”。下列函数中存在“和谐区间”的是

①
②
③

④
⑤

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你多选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题做答结果计分．）

15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，在圆
中，直径
与弦
垂直，垂足为，
，垂足为，若
，则
．

16．（选修4-4：参数方程与极坐标）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点P在曲线
上，点Q在直线
上，则
的最小值是 。

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）

已知函数
相邻两个最大值间的距离为

（1）求的值；

（2）求
在区间
上的所有零点之和。

18、（本小题满分12分）设函数

求函数的单调区间；

若当
时，
恒成立，求实数的取值范围。

19、（本小题满分12分）

如图，在直角梯形SABC中，
,D为边SC上的点，且
,现将
沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得

求证：
平面

若
，点E满足
,使得平面EAC与平面PDC所成的锐角的大小为
？若存在，请求出
；若不存在，请说明理由。

20、（本小题满分13分）

已知等比数列
的各项都是正数，

求的值及数列
的通项公式；

证明：

21、（本小题满分13分）

已知椭圆
的一个顶点为
，
为其两焦点，
的周长为

求椭圆
的标准方程；

以
为直角顶点作椭圆
的内接等腰直角三角形
,这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个，并求出直角边所在的直线方程；若不存在，请说明理由。

22、（本小题满分13分）

A,B,C三人进行乒乓球比赛，优胜者按以下规则决出：

（Ⅰ）三人中两人进行比赛，胜出者与剩下的一人进行比赛，直到出现两连胜者，则此两连胜者呗判定为优胜者，比赛结束；（Ⅱ）在每次比赛中，无平局，必须决出胜负。

已知A胜B的概率是
，C胜A的概率是
，C胜B的概率是
，第一场比赛在A与C中进行

（1）分别求出第二场、第三场、第四场比赛后C为优胜者的概率；

（2）记第
场比赛后C为优胜者的概率为
，第
场比赛后C为优胜者的概率为
，第
场比赛后C为优胜者的概率为
，
，试求
，
，

2014安徽省高考压轴卷数学（理科）参考答案

C【解析】本题考查复数的运算及其共轭复数知识，由
，所以
。

B【解析】本题考查充分必要条件的判断。因为
知
，
知
显然
，反之不成立，选B。

3、B【解析】本题考查分层抽样知识。由题意知
，解得
。

4、D【解析】本题考查程序框图知识，

循环结束，输出结果为
.

C【解析】由题意知

，当且仅当
时，即
时取到最小值9.

6、B【解析】本题考查了正、余弦定理的应用。由
可知
，故
且
，又
可知
，故
，再根据正弦定理有
，可知
，故选B。

7、B【解析】本题考查等差数列、等比数列及其累加法知识。依题意可设等差数列
的公差为
，则
，解得
，所以
，又
知
，
采取累加法可知
，又
，则
，故选B。

8、C【解析】本题考查函数图像及其向量的运算等知识。因为曲线
,相当于将函数
的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即曲线
的图像关于点
成中心对称，所以
是线段
的中点，故
。

9、D【解析】本题考查函数的图像及其恒成立问题、数形结合思想的应用。函数
为奇函数且
，所以函数
在
上为减函数，故
，当
时，
，
可以视为
两点的直线斜率，而
在曲线
，可知
，故

10、C【解析】本题考查排列组合知识。不妨在正方体一个面的四个顶点中任取三个点，在与这个面平行的面中只有一个顶点与刚才的三个顶点能构成符合条件的三棱锥（如图中三棱锥
），所以这一对平行平面的顶点共构成
个符合条件的三棱锥，正方体中共有三对平行平面，所以可构成符合条件的三棱锥
个.另外正四面体
和正四面体
也符合条件，故符合条件的三棱锥共有
个.

11、
【解析】本题考查三视图，由三视图可知，此几何体为长方体上面有个球，从长度上看，长方体的底面是以3为边长的正方形，高为2，球的半径为
，所以表面积为：
。

12、4【解析】本题考查线性规划知识。根据题意作出可行域：

平移目标函数
可知在点取到最大值，而
，则
。

13、
【解析】本题考查双曲线的离心率知识。依题意知，设以
为底边的正三角形与双曲线
的右支交于点
,则在
中可得
，由双曲线的定义有
即
，所以双曲线
的离心率
。

14、①②③⑤ 【解析】本题考查函数的性质。

对于①由题意设
,解得当
或
或
时,满足条件；

对于②
在
上单调递减，取区间
，由题意设
，所以只需
即可，满足条件；

对于③
在
上单调递增，取区间
，由题意设
，解得当
或
或
时，满足条件；

对于④由题意设
，即
是方程
的两个根，由于两函数
没有交点，故对应方程无解，所以不满足条件；

对于⑤
在
上单调递增，取区间
，由题意设
，即
是方程
的两个根，由于两函数
有两个交点，故对应方程有两个根，即存在
满足条件.所以存在“和谐区间”的是①②③⑤.

15.5

16、A【解析】本题考查极坐标和参数方程知识。由已知可得点在圆
上，点
在直线
上，所以
的最小值是是圆心
到直线
的距离减去半径1，即
。

17、【解析】（1）由题意得函数
,

（辅助角公式）

又相邻两个最大值间的距离为
知其最小正周期
， （图像的特征）

所以
，
.（最小正周期公式） （5分）

（2）由（1）可知
，

令
得
，（零点转化为方程）

所以
或
.（由三角函数值得角度）

解得
或
. （9分）

因为
，所以零点有
.（据范围得具体角度）

所以