2014天津高考压轴卷数学理word

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（　　）

A．

﹣1

B．

0

C．

1

D．

2



2．设集合
，集合B为函数
的定义域，则

(A)
(B)
(C)[1,2) (D) (1,2]

3.函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　）

A．



B．



C．

0

D．





4.函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（　　）

A．

奇函数

B．

偶函数



　

C．

既不是奇函数又不是偶函数

D．

既是奇函数又是偶函数



5．设曲线
上任一点
处切线斜率为
，则函数
的部分图象可以为．

6.设z=2x+y，其中变量x，y满足条件
，若z的最小值为3，则m的值为（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4





7.已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：
=1的切线，则此切线长等于（　　）

A．

1

B．



C．



D．

2



8.已知函数f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）（　　）

A．

若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＞b

B．

若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＜b



　

C．

若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＞b

D．

若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＜b



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．

9. 设常数a∈R，若
的二项展开式中x4项的系数为20，则a=　　．

10. 已知tanα=
，tanβ=﹣
，且0＜α＜
，
＜β＜π，则2α﹣β的值　　．

11.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=　　．

12.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如

图所示，那么该几何体的体积是（　　）

13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______________.

14.等腰Rt△ACB，AB=2，
．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为_____________.



















三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为
，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．

（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求乙取到白球的概率．

16.在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程
的两个根，且A+B=120°，求△ABC的面积及AB的长．

17.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．

（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；

（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求
的值；

（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．

18.数列{an}是递增的等差数列，且a1+a6=﹣6，a3?a4=8．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}的前n项和Sn的最小值；

（3）求数列{|an|}的前n项和Tn．

19. 已知椭圆C：
的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，
）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得
恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

20. （13分）已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），

（1）求g（x）的单调区间；

（2）当a=1时， ①比较
的大小；

②是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜
对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．

 2014天津高考压轴卷数学理word参考答案

1. 【答案】D.

【解析】根据题意，若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，

必有m＞1，

分析选项可得，D符合；

故选D．

2. 【答案】D.

【解析】
，由
得
，即
,所以
，所以选D.

3. 【答案】

【解析】令y=f（x）=sin（2x+φ），

则f（x+
）=sin[2（x+
）+φ]=sin（2x+
+φ），

∵f（x+
）为偶函数，

∴
+φ=kπ+
，

∴φ=kπ+
，k∈Z，

∴当k=0时，φ=
．

故φ的一个可能的值为
．

故选B．

4. 【答案】

【解析】∵f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），

∴f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）

记F（x）=f（x）﹣g（x）=log2
，

则F（﹣x）=log2
=log2（
）﹣1=﹣log2
=﹣F（x）

故f（x）﹣g（x）是奇函数．

故选A.

5. 【答案】C.

【解析】
,即
，所以
，为偶函数，图象关于轴对称，所以排除A,B.当
，得
或
，即函数过原点，所以选C.

6. 【答案】A.

【解析】作出不等式组对应的平面区域，

∵若z的最小值为3，

∴2x+y=3，

由
，

解得
，

同时（1，1）都在直线x=m上，

∴m=1．

故选：A．

7. 【答案】D.

【解析】∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8，当且仅当 x=2y=
时，等号成立，

∴当2x+4y取最小值8时，P点的坐标为（
，
），

点P到圆心C的距离为CP=
=
，大于圆的半径1，

故切线长为
=
=2，

故选：D．

8. 【答案】A.

【解析】根据复合函数的单调性可知，f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）为增函数，

∵函数的定义域为（0，+∞）．

∴a＞0，b＞0，

设g（x）=f（x）+2x，

∵f（x）是增函数，

∴当x＞0时，g（x）=f（x）+2x为递增函数，

∵f（a）+2a=f（b）+3b，

∴f（a）+2a=f（b）+3b＞f（b）+2b，

即g（a）＞g（b），

∵g（x）=f（x）+2x为递增函数，

∴a＞b，

故选：A．

9. 【答案】

【解析】∵
的二项展开式的通项公式为 Tr+1=
?ar?x10﹣3r，

令10﹣3r=4，求得 r=2，

故二项展开式中x4项的系数为
?a2=20，解得a=±
，

故答案为：±
．

10. 【答案】

【解析】∵0＜α＜
，tanα=
＜1=tan
，y=tanx在（0，
）上单调递增，

∴0＜α＜
，又
＜β＜π，

∴﹣π＜2α﹣β＜﹣
，

∵tan2α=
=
=
，tanβ=﹣
，

∴tan（2α﹣β）=
=
=1，

∴2α﹣β=﹣
．

11. 【答案】

【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn，

∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，

∴
，

解得a1=1，d=1，

∴a10=1+9=10．

故答案为：10．

12. 【答案】

【解析】由三视图知：余下的几何体如图示：

∵E、F都是侧棱的中点，

∴上、下两部分的体积相等，

∴几何体的体积V=
×23=4．

13. 【答案】

【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．

圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．

SABCD=

故答案为：

14. 【答案】

【解析】根据题意，得

∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，

∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，

∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，

∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，

因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=
S△CMH×AM=
S△CMH由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C﹣HAM的体积最大

设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=
AB=

可得CD=
，BD=

Rt△ACD中，根据等积转换得CH=
=

Rt△ABD∽Rt△AHM，得
，所以HM=
=

因此，S△CMH=
CH?HM=
=

∵4+2tan2θ≥4
tanθ，

∴S△CMH=
≤
=
，

当且仅当tanθ=
时，S△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值．

∵tanθ=
＞0，可得sinθ=
cosθ＞0

∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=
，可得cosθ=
（舍负）

由此可得CD=
=
，

即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为

故选：C

15. 【解析】（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，

由题意知
…（1分）

=
，

解得n=4或n=﹣3（舍去） …（3分）

∴黑球有4个，白球有3个．

由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5…（4分）

，

，

，

…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）

∴ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

5



P













…（8分）

所以数学期望为：
…（9分）

（Ⅱ）∵乙后取，

∴乙只有可能在第二次，第四次取球，

记乙取到白球为事件A，

则
，…（11分）

答：乙取到白球的概率为
．…（12分）

16. 【解析】∵A+B=120°，∴C=60°．

∵a、b是方程
的两个根，

∴a+b=
，ab=2，

∴S△ABC=
=
，

AB=c=
=
=
=
．

17. 【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）

（Ⅰ）证明：
=（1，0，1），
=（﹣1，﹣m，1）

∴
?
=0

∴DA1⊥ED1；（4分）

（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为
=（x，y，z），则

∵
=（0，﹣1，1），
=（1，m﹣1，0）

∴
．

取z=1，得y=1，x=1﹣m，得
=（1﹣m，1，1）．

∵直线DA1与平面CED1成角为45°，

∴sin45°=|cos＜
，
＞|=
，

∴
=
，解得m=
．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为
，此时点E在A点处．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

18. 【解析】（1）由
得：
，

∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根，

∴x1=﹣2，x2=﹣4；

∵等差数列{an}是递增数列，

∴a3=﹣4，a4=﹣2，

∴公差d=2，a1=﹣8．

∴an=2n﹣10；

（2）∵Sn=
=n2﹣9n=
﹣
，

∴（Sn）min=S4=S5=﹣20；

（3）由an≥0得2n﹣10≥0，解得n≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．

当1≤n≤5且n∈N*时，

Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=﹣（a1+a2+…+an）

=﹣Sn

=﹣n2+9n；

当n≥6且n∈N*时，

Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|

=﹣（a1+a2+…+a5）+（a6+…+an）

=Sn﹣2S5

=n2﹣9n﹣2（25﹣45）

=n2﹣9n+40．

∴Tn=
．

19. 【解析】（1）由题意，c=1

∵点（﹣1，
）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=
，∴a=

∴b2=a2﹣c2=1，

∴椭圆C的标准方程为
；

（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得
恒成立

当直线l的斜率为0时，A（
，0），B（﹣
，0），则

=﹣
，∴
，∴m=
①

当直线l的斜率不存在时，
，
，则
?
=﹣
，∴

∴m=
或m=
②

由①②可得m=
．

下面证明m=
时，
恒成立

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣
，y1y2=﹣

∴
=（x1﹣
，y1）?（x2﹣
，y2）=（ty1﹣
）（ty2﹣
）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣
t（y1+y2）+
=
+
=﹣

综上，x轴上存在点Q（
，0），使得
恒成立.

20. 【解析】
，

g（x）的定义域为（0，+∞）．

①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；

②当a＞0时，由g'（x）＞0，得
；由g'（x）＜0，得
，

即增区间是
，减区间是
．

（2）
，

∴

①当x=1时，μ（x）=0，此时

②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴

③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴
．

（3）
?

?

∵lnx∈（0，+∞），∴g（x0）＞lnx不能恒成立．

故x0不存在．