北京市东城区

2013—2014学年度高三第二学期综合练习（二）

数学（理）试题

本试卷共15分，考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合A={x∈R|x+1≥2），B={一2，一1，0，1，2}，则A
B=

（A）{2} （B）{1，2}

（C）{0，1，2} （D）{一l，0，1，2}

（2）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限

（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输

出的结果为0时，输入的x值为

（A）2或一2

（B）-1或一2

（C）1或一2

（D）2或一1

（4）若实数x，y满足条件
的最大值为

（A）—3 （B） -1 （C）0 （D）8

（5）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1 =1，公差d=2，Sn+2—Sn=36，则n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为

（A）12 （B）18 （C） 24 （D）36

（7）若直线
（t为参数，被圆
为参数，所截的弦长为
，则a的值为

（A）l或5 （B）-1或5 （C）l或-5 （D）-1或-5

（8）对任意实数a，b定义运算“
"：a
b=
，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是

第二部分（非选择题 共1 1 0分）

二、填空题共6小题．每小题5分，共30分。

（9）已知
。

（10）已知向量a，b，若
= ；向量a，b夹角的大小为

（11）在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，则事件 “2x+y≤6”

的概率为 。

（12）如图，PA与圆O相切于A，直线PO交圆O于B，C两点，

AD⊥BC，垂足为D，且D是OC的中点，若PA=6，则

PC= 。

（13）若直线
与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若
，则k的值是 。

（14）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），且|PA|+|PC1|=m．

①若m=2，则满足条件的点P的个数为 ；

②若满足|PA|+|PC1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（1 5）（本小题共1 3分）

已知函数

（I）求
的值；

（Ⅱ）
的最大值和最小值．

（16）（本小题共1 3分）

“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．

（I）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．

（17）（本小题共14分）

如图，四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面．ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD-EA=ED=2．

（I）求证：BD⊥平面ADE;

（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．

（18）（本小题共1 3分）

已知a>0，函数

（I）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求证：对于任意的

（19）（本小题共1 3分）

已知椭圆
的一个焦点为F（2，0），且离心率为
．

（I）求椭圆方程5

（Ⅱ）斜率为是的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

（20）（本小题共14分）

设a是一个自然数，f(a)是a的各位数字的平方和，定义数列{an}；a1是自然数，

（I）求

（II）若

（Ⅲ）当a1<1000时，求证：存在
．