北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（二）

数学（文）试题

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合A={x∈R|x+1≥2），B={一2，一1，0，1，2}，则A
B=

（A）{2） （B）{1，2}

（C）{0，1，2） （D）{一l，0，1，2}

（2）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限

（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输

出的结果为0时，输入的x值为

（A）2或一2

（B）-1或一2

（C）1或一2

（D）2或一1

（4）设等差数列{
}的前n项和为Sn，若2a6=6+a7，则Sn的值是

（A）18 （B）36 （C）54 （D）72

（5）已知tan=2，那么sin2的值是

（A）
（B）
（C）一
（D）

（6）已知函数
在区间[0，+∞）上是增函数，函数
，则x的取值范围是

（A）（0，10） （B）（10，+∞） （C）（
，10） （B）（0，
）
（10，+∞）

（7）已知点A（2，0），B（一2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是

（A）（6，7） （B）（7，6） （C）（一5，一4） （D）（—4，—5）

（8）对任意实数a，b定义运算“
"：a
b=
，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是

第二部分（非选择题 共1 1 0分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）函数
的定义域是 ．

（10）已知平面向量
．

（11）在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，则事件“2x-+-y≤6”的概率为 ．

（12）已知数列
的前n项和为Sn，且对任意nN*，有2Sn=3an一2，则a1= ；Sn= ．

（13）过点A（一1，0）且斜率为k（k>0）的直线与抛物线y2=4x相交于B，C两点，若B为AC中点，则k的值是 ．

（14）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），且|PA|+|PC1|=m．

①若m=2，则满足条件的点P的个数为 ；

②若满足|PA|+|PC1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（1 5）（本小题共1 3分）

已知函数

（I）求
的值；

（Ⅱ）
的最大值和最小值．

（16）（本小题共1 3分）

汽车的碳排放量比较大，某地规定，从201 4年开始，将对二氧化碳排放量超过1 30 g／km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g／km）：

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为i乙=120 g／km．

（I）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130 g／km的概率是多少?

（II）求表中z的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．

（17）（本小题共1 4分）

如图，在三棱锥P—ABC中，PA—PB—AB一2，BC一3，∠ABC一90°，平面PAB⊥平面 ABC，D，E分别为AB，AC中点．

（I）求证：DE//平面PBC；

（II）求证：AB⊥PE；

（Ⅲ）求三棱锥P—BEC的体积．

（1 8）（本小题共1 3分）

（19）（本小题共1 3分）

已知椭圆
的一个焦点为
，且离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点
且斜率为
的直线与椭圆交于
两点，点关于轴的对称点为
，求△
面积的最大值.

（20）（本小题共14分）

设是一个自然数，
是的各位数字的平方和，定义数列
：
是自然数，
（
，
）．

（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求证：存在
，使得
．

东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）A （3）C （4）C

（5）B （6）D （7）A （8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）
（12）

（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）

　　　　　 　

　　　　　 　

　　　　　 　
．

所以
． …………………7分

（Ⅱ）当
时，
．

所以，当
时，即
时，函数
取得最小值
；

当
时，即
时，函数
取得最大值
．…………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）从被检测的
辆甲品牌的轻型汽车中任取辆，

共有
种不同的二氧化碳排放量结果：

，
，
，
，
，

，
，
，
，
．

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过
”为事件，

则事件包含以下
种不同的结果：

，
，
，
，
，
，
．

所以
．

即至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率为
．………………6分

（Ⅱ）由题可知，
，所以
，解得
．

，

因为

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．　　　　………………13分

（17）（共14分）

解：（Ⅰ）因为，分别为
，
中点，

所以
∥
，

又
平面
，
平面
，

所以
∥平面
. …………………4分

（Ⅱ）连结
，

因为
∥
，又
°，

所以
.

又
，为
中点，

所以
.

所以
平面
，

所以
. …………………9分

（Ⅲ）因为平面
平面
，

有
，

所以
平面
，

所以
. …………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）
，
．

，
．

依题意有
，

可得
，解得
，或
．　　　　……………６分

（Ⅱ）
．

　　　不妨设
，

则
等价于
，

即
．

　　　设
，

则对任意的
，且
，都有
，

等价于
在
是增函数．

　　　
，

　　　可得
，

　　　依题意有，对任意
，有
．

由
，可得
．……………13分

（19）（共13分）

解（Ⅰ）依题意有
，
．

可得
，
．

　　　　故椭圆方程为
． ………………………………………………５分

（Ⅱ）直线的方程为
．

　　　联立方程组

　　　消去并整理得
． （*）

　　　设
，
．

故
，
．

不妨设
，显然
均小于．

则
，

．

　　　

　　 　　　

．

等号成立时，可得
，此时方程（*）为
，满足
．

所以
面积
的最大值为． ………………………………13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）
；

　
． ……………5分

（Ⅱ）假设
是一个位数（
），

　　　　　那么可以设
，

其中
且
（
），且
．

由
可得，
．

所以
．

因为
，所以
．

而
，

所以
，即
． ……………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当
时，
．

同理当
时，
．

若不存在
，使得
．

则对任意的
，有
，总有
．

则
，

可得
．

　　　取
，则
，与
矛盾．

存在
，使得
． ……………14分