湖北省七市（州）2014届高三4月联合考试数学（文）试题（word版）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
和
的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合为

A．
B．
C．
D．

2．已知命题P：
；命题q：
．则下列结论正确的是

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是真命题

3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线
近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是

A．线性相关关系较强，b的值为1．25

B．线性相关关系较强，b的值为O．83

C．线性相关关系较强，b的值为-0．87

D．线性相关关系太弱，无研究价值

5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则最小的1份为

6．将函数
图像上所有点向左平移
个单位，再将各点横坐标缩短为原的
倍，得到函数f（x)，则

A．f（x)在(0，
)单调递减 B．f（x)在(
，
)单调递减

C．f（x)在(0，
)单调递增 D．f（x)在(
，
)单调递增

7．角
顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，tan
=-2，点P在
的终边上，点Q(-3，-4)，则
与
夹角余弦值为

8．已知函数
与
的图像在R上不间断，由下表知方程
=
有实数解的区间是

x

-1

O

1

2

3



f（x)

-0.677

3.011

5.432

5.980

7.651



g（x)

-0.530

3.451

4.890

5.241

6.892



A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)

9．已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线离心率的取值范围是

10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数
有如下四个命题：

①f（f（x))=0； ②函数f（x)是偶函数；

③任取一个不为零的有理数T，f（x+T)=f（x)对任意的x∈R恒成立；

④存在三个点
使得△ABC为等边三角形．

其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．

11．设复数z满足(1-i)z=2i，其中i为虚数单位，则z= ．

12．若x，y满足约束条件
，则z=x+y的最大值为 ．

13．某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n?”，n为正整数，若输出的S=26，则判断框内的n= ．

14．某个几何体的三视图如图所示，(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为 ．

15．圆心在曲线
上，且与直线3x-4y+3=0相切的面积最小的圆的方程是 ．

16．一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染的污染强度与该处到污染的距离之比．已知相距30km的A，B两家化工厂(污染)的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A化工厂 公里处．

17．将长度为l，(l≥4，l∈N*)的线段分成n(n≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l=4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n的最大值为3；当l=7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n的最大值为4．则：

(1)当l=12时，n的最大值为 ；

(2)当l=100时，n的最大值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．(本小题满分12分)己知向量
设函数

(Ⅰ)求函数f（x)的单调递增区间；

(Ⅱ)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
求f（C)的值．

19．(本小题满分12分)如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=
，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(Ⅰ)若PA=1，求证：AF⊥PC；

(Ⅱ)若二面角P-BC-A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F-ACE的体积为
?

20．(本小题满分13分)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(Ⅰ)根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2(精确到整数分钟)；

(Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)，求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A)的概率．

21．(本小题满分14分)已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设A(-4，0)，过点R(3，0)作直线l，(不与x轴重合)交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线
于M、N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

22．(本小题满分14分)已知函数

(Ⅰ)求f（x)的单调区间；

(Ⅱ)若f（x)≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，求所有实数a的值；

(Ⅲ)对任意的0

参考答案

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

A卷：1~5：CDDBA 6~10：ACBAC

B卷：1~5：DCDBD 6~10：CABAB

11、
12、4 13、4 14、
15、
16、10 17、（1）
；（2）
（注：第一问2分，第二问3分）

18．解：(1)

4分令
6分 所以所求增区间为
7分

(2)由
，
，
8分
，即
10分又∵
，
11分 
12分

19．(1)证明：

,
为PB中点，∴
1分又

⊥平面
，∴
2分又

是矩形,∴
3分∴
，而
4分∴
，∴
5分而
，∴
6分

(2) 解：由(1)知：
且
7分∴
为二面角
的一个平面角，则
=60° 8分∴
9分∴
，解得
11分即
时，三棱锥
的体积为
12分

20．(1)解：
2分由频率分布直方图可知
即
3分∴20×0.0033 + 20×0.0117 + (x2－410)×0.0233 =20×0.0100 + 20×0.0017 + (430－x2) ×0.0233 4分解得
分即
　　 6分

(2)解：设报纸送达时间为x 　　　　　　　　 7分则小明父亲上班前能取到报纸等价于
， 10分如图可知，所求概率为
13分

21．(1)由题意：
2分
4分故椭圆C的方程为
5分

(2)设
，若直线
与纵轴垂直， 则
中有一点与
重合，与题意不符，故可设直线
. 6分将其与椭圆方程联立，消去
得：
7分
8分由
三点共线可知，
，
， 9分同理可得
10分
11分而
12分所以
故直线
、
的斜率为定值
. 14分

22．解：（1）
， 1分当
时，
，
减区间为
2分当
时，由
得
，由
得
3分∴
递增区间为
，递减区间为
4分

(2)由（1）知：当
时，
在
上为减区间，而
∴
在区间
上不可能恒成立 5分当
时，
在
上递增，在
上递减，
，令
， 6分依题意有
，而
，且
∴
在
上递减，在
上递增，∴
，故
9分

(3)由(2)知：
时，
且
恒成立 即
恒成立  则

11分 又由
知
在
上恒成立∴
13分综上所述：对任意的
，证明：
14分