2013—2014学年度两校三模联考

数学科试题(文科)

命题人：揭阳第一中学文科数学备课组

本试卷共4页，21题，满分150分．考试时间为l20分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内．

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.

3. 答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

若复数
是纯虚数，则实数
的值为（　　）

A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1

2．设集合
,
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3． 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )

A. 8，8 B. 10，6 C. 9，7 D. 12，4

4.已知
，
，且
∥
，则
为（ ）

A.
B.
C.
或
D.
或

5．“
”是“直线
与圆
相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( )

A．
B．
C．
D．

7.已知
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．数列
的前n项和为
，首项为a，且
．若实数
满足
则
的最小值是（ ）

A．
1 B．
C．5 D．1

9.已知函数
是定义在R上的奇函数，且当
时，
，则函数
在
处的切线方程为( )

A．
B．
C．
D．

10．对于函数
，若存在常数C，对任意
，存在唯一的
，使得
，则称函数
在D上的几何平均数为C.已知
，则函数
在D上的几何平均数为（ ）

A．
B．3 C．2 D．

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上.

（一）必做题（第11至13题为必做题，每道题目考生都必须作答.）

11．在
中，
、
、
分别是角A、B、C所对的边，
，则
的面积S= ______．

12.椭圆
上存在一点P，使得它对两个焦点
，
张角
，则该椭圆的离心率的取值范围是

13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的全面积为 .

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点
为方程

所表示的曲线上一动点
，

则
的最小值为____________．

15．（几何证明选讲）如图,以
为直径的圆与△ABC的两边

分别交于
两点，
，则
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
，且函数
的图象过点
．

（1）求
和
的值；

（2）设
，求函数
的单调递增区间．

17．（本小题满分12分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…
后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在
内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；

（3）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取
人，求至多有
人在分数段
的概率.

18.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，
，顶点
在底面
上的射影恰为点
，

且
．

（1）求证：
平面
；

（2）若
为线段
的中点，求四棱锥
的体积.

19．（本小题满分14分）

在等比数列{an}中，
，公比
，且
，又a3与a5的等比中项为2.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设
，求数列{bn}的前n项和Sn.

（3）是否存在
使得
对任意
恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分14分）

如图，抛物线
与双曲线
有公共焦点
，点
是曲线
在第一象限的交点，且
.

（1）求双曲线
的方程；

（2）以
为圆心的圆
与双曲线的一条渐近线相切，

圆
：
．已知点
，过点
作互相垂

直且分别与圆
、圆
相交的直线
和
，设
被圆
截

得的弦长为
，
被圆
截得的弦长为
．
是否为定值？

请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
在点
处取得极值.

（1）求实数a的值；

（2）若关于x的方程
在区间[0，2]上有两个不等实根，求b的取值范围；

（3）证明：对于任意的正整数
，不等式
.

2013—2014学年度两校三模联考数学科 (文科)

参考答案及评分说明

一．选择题：BDCDA BBABA

二．填空题：11.
，12.
，13.
，14.
, 15.2

三．解答题：

16.解：（1）由图可知
， ………………………………………………2分

又由
得，
，得



， …………4分

（2）由（1）知：
………………………………6分

因为

…………9分

所以，
，即
.………11分

故函数
的单调增区间为
.…12分

17. 解：（1）分数在
内的频率为：

，

故
，……2分

如图所示： ----4分（求频率2分，作图2分）

（2）平均分为：

．------------6分

（3）由题意，
分数段的人数为：
人； ----------------7分

分数段的人数为：
人； ----------------8分

∵在
的学生中抽取一个容量为
的样本，

∴
分数段抽取2人，分别记为
；
分数段抽取4人，分别记为
；

设从样本中任取
人，至多有1人在分数段
为事件
，则基本事件空间包含的基本事件有：

、
、
、
、
、……、
共15种，

则事件
包含的基本事件有：

、
、
、
、
、
、
、
、
共9种，---11分

∴
． --------------------------------12分

18.（1） 证明：
平面
， …………………1分

平面
，
…………………2分

又
， ………………3分

平面
，
平面
，

平面
…………5分

又在三棱柱
中，

平面
…………6分

（2）解：
………………8分

取
的中点
，连结
， 则
，
………………10分

又
平面
，
平面
………………12分

故点
到平面
的距离
，
…………………14分

19. 解：（1）
，

又
， …………………………………………2分

又
的等比中项为2，
， 而
，………3分

， ……………………………5分

（2）
，
，

为首项，－1为公差的等差数列. ……………　7分

， ……………9分

（3）由（2）知

；当
；当
，.……………11分

最大.…………………………13分

故存在
使得
对任意
恒成立，k的最小值为19.…14分

20. 解：（1）∵抛物线
的焦点为
， ……………………………… 1分

∴双曲线
的焦点为
、
， …………………………… 2分

设
在抛物线
上，且
，

由抛物线的定义得，
，∴
， …………………………3分

∴
，∴
， ……………………… 4分

∴