保密★启用前 试卷类型：A

教学质量检测 理科数学

注意事项：

1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟，

满分150分．

2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．

3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置．

1．已知集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．“实数
”是“复数
（
为虚数单位）的模为
”的 （ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又不必要条件

3．数列
的前项和为
，若
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （ ）

A．48cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A． B．
C． D．

6．已知
，函数
在
上单调递减．则的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可以是 ( )

A．
B．
C．
D．

8．从编号为001，002，……，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为 （ ）

A． 480 B． 481 C． 482 D． 483

9． 偶函数
满足
,且在
时，
，则关于的方程
在
上的根的个数是 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．已知
，
是双曲线
的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点
关于直线
对称，则该双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
___ ____ 吨．

12．设
，若
，则实数的值为 ．

13．已知，满足约束条件
，且
的最小值为6，则常数
．

14．已知直角梯形ABCD，
，
，
，沿
折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．

15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量
．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边为
，且满足

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若
且
，求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）

在对某渔业产品的质量调研中，从甲，乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）．

下表是测量数据的茎叶图：

规定：当产品中的此种元素含量
毫克时为优质品．

（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲，乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；

（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数
的分布列及数学期望
．

18．（本小题满分12分）

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（Ⅰ）求证：BD⊥FG；

（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

（Ⅲ）当二面角B—PC—D的大小为
时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

19．（本小题满分12分）

设数列
为等差数列，且
，
，数列
的前项和为
，
且
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式;

（Ⅱ）若
,
为数列
的前项和，
对
恒成立，求的最小值．

20．（本小题满分13分）

如图，已知椭圆
，直线
的方程为
，过右焦点的直线
与椭圆交于异于左顶点的
两点，直线
，
交直线
分别于点
，．

（Ⅰ）当
时，求此时直线
的方程；

（Ⅱ）试问
，两点的纵坐标之积是否为定值？

若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数
．

（Ⅰ）若函数
在
上为减函数，求实数的最小值；

（Ⅱ）若存在
，使
成立，求实数的取值范围．

教学质量检测 理科数学参考答案

一．选择题：DADBD ACCCB

二．填空题：11．20； 12．
； 13．－3； 14．
； 15．

三．解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知

得
……………………………………………………………3分

化简得
………………………………………………………………………………………………5分

故
．………………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）因为
，所以
，……………………………………………………………………………７分

由正弦定理
，得
，

故

……９分

因为
，所以
，
，……………………………………………………10分

所以
． ……………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）甲厂抽取的样品中优等品有7件，优等品率为
，……………………………………2分

乙厂抽取的样品中优等品有8件，优等品率为
．…………………………………………………4分

（Ⅱ）
的取值为1，2，3．………………………………………………………………………………6分

，
，
……………………9分

所以
的分布列为

1

2

3













…………………………………………………………………………………………………………………10分

故的数学期望为
…………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：方法一：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E

∴PA⊥BD，AC⊥BD， ∴BD⊥平面APC ………………………………………………………2分

∵FG平面PAC，∴BD⊥FG ……………………………………………………………………3分

（Ⅱ）当G为EC中点，即AG=
AC时，FG∥平面PBD，……………………………………………4分

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，………………………………………………5分

而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG∥平面PBD．……………………………………………6分

（Ⅲ）作BH⊥PC于H，连接DH，∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即
………………………………………………………………………………………7分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 …………………………………8分

连结EH，则
，

而
，
…………………………………………10分

……………………………………………………………………………………11分

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是
………………………………………………………12分

方法二：（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
…………1分

∵
，
…………2分

∴BD⊥FG ………………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，而
，由
，可得：
，解得
，
，…………………………………………………………………………………5分

，
，故当
时，FG//平面PBD………………………6分

（Ⅲ）设平面PBC的一个法向量为

则
，而

，取
，得
，……………………8分

同理可得平面PDC的一个法向量
，设
所成的角为
，

则

即

…………………………………………10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是
…………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） 数列
为等差数列，公差
，易得
，

所以
……………………………………………………………………………………1分

由
，得
，即
，

所以
，又
，所以
，
………………………………………2分

由
， 当
时,得
,

两式相减得：
，即
，所以

…………………4分

又
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，于是
……………5分

（Ⅱ）

∴
……………………………………6分

………………………………8分

两式相减得
……………9分

所以
………………………………………………………………11分

从而

∵
对
恒成立，∴
∴m的最小值是
………………………………12分

20． （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）①当直线
的斜率不存在时，由
可知
方程为

代入椭圆
得
又

不满足……………………………………2分

②当直线
的斜率存在时，设
方程为

代入椭圆
得
…………………………3分

设
得
…………………………4分

故直线
的方程；
………………………………………………6分

（Ⅱ）
的方程为
与
的方程：
联立

得：
同理得
…………………………………………………8分

①
不存在时，
………………………………………………9分

②
存在时，
………………………………………12分

，
两点的纵坐标之积为定值
…………………………………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知得x＞0，x≠1．

因f (x)在
上为减函数，故
在
上恒成立． ………………1分

所以当
时，
．

又

，………………………………2分

故当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
． ……………………………………………4分

（Ⅱ）命题“若存在
使
成立”等价于

“当
时，有
”． …………………………………………………5分

由（Ⅰ），当
时，
，
．

问题等价于：“当
时，有
”． ………………………………………………6分

①当
时，由（1），
在
上为减函数，

则
=
，故
． ……………………………………………8分

②当<
时，由于
在