山西大学附中

2013—2014学年高三第二学期5月下数学试题（理科）

考试时间：120分钟 满分: 150分

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1．已知集合
，集合
，集合
．则集合可表示为

A．
B．
C．
D．

2．复数
（为虚数单位），则复数的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

3. 设
为平面，
为直线，则
的一个充分条件是

A．
B．

C．
D．

4．阅读如下程序框图，如果输出
，那么空白的判断框中应填人的条件是

A．
B．
C．
D．

5．

A．
B．
C．
D．

6．右图是一容量为
的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为

A．11 B．11.5 C．12 D．12.5

7．
的展开式中，
项的系数为

A．126 B．420 C．630 D．1260

8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

9．过抛物线
焦点的直线交其于
两点，为坐标原点．若
，则
的面积为

A．
B．
C．
D．

10．由
的图象向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到
的图象，则
为

A．
B．
C．
D．

11．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是

A．①④③② B．①④②③　 C．④①②③　 D．③④②①

12．定义在上的函数
满足：
则不等式
（其中为自然对数的底数）的解集为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量
，
，且
，若变量
满足约束条件
，则的最大值为 ．

14．正四面体
的棱长为4，为棱
的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______．

15．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为 ．

16．设
是
的三边中垂线的交点,
分别为角
对应的边,已知
,则
的范围是___________________．

三、解答题：

17．（本小题满分12分）

已知数列
中，
且
（
且
）．

（Ⅰ）证明：数列
为等差数列；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

18．（本小题满分12分）

公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表：

参考人数

通过科目一人数

通过科目二人数

通过科目三人数



20

12

4

2



请你根据表中的数据：

（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；

（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；

（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X的数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
分别为
的中点，

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BEF；

（Ⅱ）设
，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角
，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心为原点，离心率
，其一个焦点在抛物线

的准线上，若抛物线
与直线
相切．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点
在椭圆
上运动时，设动点
的运动轨迹为
．若点满足：
，其中
是
上的点，直线
与
的斜率之积为
，试说明：是否存在两个定点
，使得
为定值？若存在，求
的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本题满分12分）

已知函数
（为自然对数的底数）。

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设函数
，存在
，使得成立
成立，求实数的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

已知直线

为参数), 曲线

（
为参数）.

（Ⅰ）设
与
相交于
两点,求
；

（Ⅱ）若把曲线
上各点的横坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值．

23．（本小题满分10分）选修4 – 5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式
在
上无解，求实数的取值范围．

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2013—2014学年高三第二学期5月下数学试题（理科）答案

一、选择题： CADAB CDDCB BA

二、填空题： 13．3 14．
15．
16．
　

三、解答题：

17．解：（Ⅰ） ∵
且
（
且
）．

∴设
，则：

， ………4分

　　由上可知，数列
为首项是、公差是1的等差数列． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，即：
． ……7分

∴
．

即
．

令
， ①

则
． ② …………9分

②－①，得

．

∴
． …………12分

18．解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为
，

估计这100名新学员中有100×
=10人； 3分

（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，则P=P(B
|A)=
6分

（Ⅲ）设这个学员一次性过关的科目数为Y，则Y的分布列为

8分

EY=0×
+1×
+2×
+3×
=
10分

而X=100Y，所以EX=100EY=100×
=90 12分

19．解： (Ⅰ)


，分别为
的中点，

为矩形，
················· 2分

,又

面
,
面
,

平面
⊥平面
·················· 4分

(Ⅱ)
,又
，

又
,所以
面
,
··················6分

建系
为轴，
为轴，
为轴, 则

，
,

平面
法向量
，平面
法向量
··········9分

，可得
. ·············12分

20．解：（I）由
，

抛物线

与直线
相切，
…2分

抛物线
的方程为：
，其准线方程为：
，

离心率
，

，

故椭圆的标准方程为
……4分

（II）设
，
，

则

当点
在椭圆
上运动时，

动点
的运动轨迹

的轨迹方程为：
………………………………………………………6分

由
得

设
分别为直线
，
的斜率，由题设条件知

因此
…………………………………………8分

因为点
在椭圆
上，所以
，

故

所以
，从而可知：点是椭圆
上的点，

存在两个定点
，且为椭圆
的两个焦点，使得
为定值，其坐标为
． …………………………………………………12分

21．解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，
……………………….2分

∴当
时，
，当
时，
。

∴
在
上单调递增，在
上单调递减。……………………….4分

（Ⅱ）假设存在
，使得
成立，则
。

∵

∴
………………………6分

当
时，
，
在
上单调递减，∴
，即
…….8分

②当
时，
，
在
上单调递增，∴
，即
…….10分

③当
时，在
，
，
在
上单调递减

在
，
，
在
上单调递增

所以
，即
——

由（Ⅰ）知，
在
上单调递减故
，

而
，所以不等式
无解

综上所述，存在
,使得命题成立. ………………………12分

22．解. （Ⅰ）
的普通方程为
的普通方程为

联立方程组


解得
与
的交点为
,
,则
.

（Ⅱ）
的参数方程为
为参数).故点的坐标是
,

从而点到直线
的距离是
,

由此当
时,
取得最小值,且最小值为
.

23．解：（Ⅰ）
，所以原不等式转化为
所以原不等式的解集为
………………….6分

（Ⅱ）只要
，…….8分

由（Ⅰ）知
解得