揭阳2014届高三考前训练数学（理科）

一、选择题：

1.已知集合
，则
=

A．
B．
C．
D．

2. 复数
等于

A.
B.
C.
D.

3.已知
，则

A.
B.
C. -
D.

4．已知数列{
｝是各项均为正数的等比数列，若
，则

A.4 B.8 C.16 D.32

5. 关于函数
，下列说法正确的是

A．
是奇函数且x=-1处取得极小值

B．
是奇函数且x=1处取得极小值

C．
是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值

D．
是非奇非偶函数且x=1处取得极小值

6.一简单组合体的三视图及尺寸如图（1）所示，则该组合体的体积是 图（1）

A. 76 B. 80 C. 96 D. 112

7.已知不共线的平面向量a，b，c，两两所成的角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1

｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜等于

A．2 B.5 C.2或5 D.
或

8.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的
个专业中，选择
个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有

A.210种 B. 180种 C.120种 D.95种

二、填空题

9.若函数
是函数
的反函数，则
.

10.在△
中，角
的对边分别为
，且
，
．

则角
的大小为 ；

11. 在平面直角坐标系
中，抛物线
上纵坐标为
的点到焦点的距离为
，则焦点到准线的距离为 .

12. 图（2）是某算法的程序框图，当输出的结果
时，整数
的最小值

是 .

13. 已知
是坐标原点，点
，若
为平面区域

上的一个动点，则
的最小值是 .

14．(几何证明选做题)如图（3），
是圆
的直径，延长
至
，使 图（2）

，且
，CD是圆
的切线，切点为
，连接
，

则
________，
________．

15.（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线
和

相交于点
，则
＝ . 图（3）

三、解答题

16． 已知函数
（
）的图象过点
.

（1）求
的值；

（2）设
，
求
的值.

17．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出
条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：













《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过
ppm．

（1）检查人员从这
条鱼中，随机抽出
条，求
条中恰有
条汞含量超标的概率；

（2）若从这批数量很大的鱼中任选
条鱼，记
表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此
条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求
的分布列及数学期望
．

18.如图（4），三棱柱
的底面是边长
的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为
，
是
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值； 图（4）

（3）在线段
上是否存在一点
，使得平面

平面
，若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.

19．已知椭圆
：
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
是椭圆
上的动点，点
满足
且
，求
的最小值；

（3）设椭圆
的上下顶点分别为
、
，点
是椭圆上异于
、
的任一点，直线

分别于x轴交于点D、E，若直线OT与过点D、E的圆相切，切点为T，试探究线段OT的长是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，请说明理由.

20. 已知数列
满足：
，且

.

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明：对一切
有
.

21. 已知函数
在
处存在极值.

（1）求实数
的值；

（2）函数
的图像上存在两点
使得
是以坐标原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，求实数
的取值范围；

（3）当
时，讨论关于
的方程

的实根的个数.

（理科）参考答案

一、选择题 CB CC DBAC

二、填空题 9.
；10.60°；11.4；12. 5；13.1；14.
、
；15.
.

三、解答题

16.解：（1）
（2）

.

17.解：（1）记“
条鱼中任选
条恰好有
条鱼汞含量超标”为事件
，则
，

∴
条鱼中任选
条恰好有
条鱼汞含量超标的概率为
.

（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率
，

可能取
，
，
，
.

则
，
，

，
．

其分布列如下：

0

1

2

3















∴

18.（1）证明：连结
，

∵三棱柱
的侧棱与底面垂直

∴四边形
是矩形， ∴
为
的中点．

∵
是
的中点， ∴
是三角形
的中位线，

∴
∥
．∵
平面
，
平面
， ∴
∥平面
．

（2）解：作
于
，连结

∵
平面

∴平面

平面
,且平面

平面

∴
平面
，∴
为直线
与平面
所成的角，

在直角三角形
中，∵

∴
.

(3)以点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立空间直角坐标系
如图示：

若在线段
上存在点
满足题设，设
，则
，
，
，
，

∴
，
，
．

设
是平面
的法向量，

则由
得

令
，则
，
， ∴
是平面
的一个法向量．

∵
，则
，

设平面
的法向量
，

∴
即

令
，则
，
，
，

又
，即
，解得
，

∴存在点
，使得平面

平面
且
．

19．解：（1）
， ∴椭圆
的方程为
.

（2）由
知，点M在以F为圆心，以1为半径的圆上，

由
知，MP为圆F的切线，M为切点，故|
,

当|PF|取最小值时，|PM|取最小值，

设
，则
，又
，当
时，
，所以
.

（3）由（1）知椭圆上下顶点坐标分别为
,

设点

（
，
），则直线
与
的方程分别为：

，
，

令
分别得
，∴
，

又
得
，∴
，

由切割线定理得：
,即线段OT的长为定值且
.

20.（1）由
（
） 得

即
，

整理得：
，

即当
时有：

解得
，当
时，上式也成立，∴

（2）∵当
时，

∴当
时，

=
，

当
时，
，综上得：对一切
有
.

21.解（1）当
时，
.

因为函数f(x)在
处存在极值，所以
解得
.

(2) 由（1）得

根据条件知A，B的横坐标互为相反数，不妨设
.

若
，则
，

由
是直角得，
，即
，即
.此时无解；

若
，则
. 由于AB的中点在
轴上，且
是直角，所以B点不可能在
轴上，即
. 由
，即
=0，即
..

因为函数
在
上的值域是
，所以实数
的取值范围是
.

（3）由方程
，知
，可知0一定是方程的根，

所以仅就
时进行研究：方程等价于

构造函数

对于
部分，函数
的图像是开口向下的抛物线的一部分，

当
时取得最大值
，其值域是
；

对于
部分，函数
，由
，知函数
在
上单调递增.

所以，①当
或
时，方程
有两个实根；

②当
时，方程
有三个实根；

③当
时，方程
有四个实根.