揭阳2014届高三考前训练

数学（文科）

一、选择题：

1.已知集合
，则
=

A．
B．
C．
D．

2. 复数
等于

A.
B.
C.
D.

3. “函数
在[a,b]上单调”是“函数
在[a,b]上有最大值和最小值”的

A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在平面直角坐标系
中，抛物线
上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为

A.1 B.2 C. 3 D. 4

5.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的左视图为

图（1）

6．已知数列{
｝是各项均为正数的等比数列，若
，则

A.4 B.8 C.16 D.32

7. 关于函数
，下列说法正确的是

A．
是奇函数且x=-1处取得极小值

B．
是奇函数且x=1处取得极小值

C．
是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值

D．
是非奇非偶函数且x=1处取得极小值

8. 如图（2）是某算法的程序框图，当输出的结果
时，整数
的最小值是 图（2）

A.2 B.3 C.4 D.5

9.已知不共线的平面向量a，b，c，两两所成的角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1

｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜等于

A．2 B.5 C.2或5 D.
或

10. 已知
是坐标原点，点
，若
为平面区域
上的一个动点，则
的最小值是

A.
B.1 C.
D.

二、填空题

11.若函数
是函数
的反函数，则
.

12.在△
中，角
的对边分别为
，且
，
．则角
的大小为 ；

13. 已知函数
，记
，
，则
．

14．(几何证明选讲选做题)如图（3），
是圆
的直径，延长
至
，使
，且
，CD是圆
的切线，切点为
，连接
，则
________，

________．

15.（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线
和

相交于点
，则
＝ . 图（3）

三、解答题

16．（本小题满分12分）

已知函数
（
）的图象过点
.

（1）求
的值；

（2）设
，
求
的值.

17．（本小题满分12分）

年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：

健康指数

2

1

0

-1



60岁至79岁的人数

120

133

34

13



80岁及以上的人数

9

18

14

9



其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理” .

（1）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率约是多少；

（2）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率.

18.（本小题满分14分）

如图（4），三棱柱
的底面是边长
的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为
，
是
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求点A到平面
的距离.

图（4）

19. （本小题满分14分）

已知各项均为正数的等比数列
的首项
，
为其前
项和，若

成等差数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
，记数列
的前
项和为
. 若对于任意的

，
恒成立，求实数
的取值范围.

【备选题：已知等差数列数列
的前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，公比是
，且满足：
.

（1）求
与
；

（2）设
，若
满足：
对任意的
恒成立，

求
的取值范围.】

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
是椭圆
上的动点，点
满足
且
，求
的最小值；

（3）设椭圆
的上下顶点分别为
、
，点
是椭圆上异于
、
的任一点，直线

、
分别于x轴交于点D、E，若直线OT与过点D、E的圆相切，切点为T，试探究线段OT的长是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，请说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

(1)若函数
的导函数
在
上是增函数，求实数
的最大值；

(2)证明在（1）的条件下，当
取最大值时，有

（3）证明：
（
）

参考答案

一、选择题 CBADB CDDAB

解析：9.如图，因不共线的平面向量a，b，c，两两所成的角相等，则两两所成

角为120°，易得|
，且
与c共线，但方向相反，故
.

10.由右图易得
的最小值=|MA’|=1.

二、填空题

11.
；12.60°；13.34；14.
、
；15.
.

解析：12.由
，得
，因为
，所以
，

所以
，因为
，且
，所以
．

13.由
得
，故
，又
，所以
.

14.连结OD，DB，由切割线定理得
，则
,故

.

15．在平面直角坐标系中，曲线
和
分别表示圆
和直线
，易知
＝
．

三、解答题

16.解：（1）依题意得
，
，

∵
∴

∴
，∴

（2）∵
∴
，

又∵
∴
，

∵
，

∴
，
，

∴

.

17.解：

（1）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为
，

所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为
.-----------5分

（2）该小区健康指数大于0的老龄人共有：129+133+9+18=280（人），

健康指数不大于0的老龄人共有：350-280=70（人），

所以被抽取的5位老龄人中健康指数大于0有
（位），

健康指数不大于0有
（位）

设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人分别为
，

健康指数不大于0的老龄人为e.

设“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件A，从这5人中抽取3人，的所有可能的结果有：（a,b,c）,(a,b,d),(a,b,e)(a,c,d),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e)(c,d,e),即基本事件总数为10,

其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有(a,b,e),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,e),(b,d,e)(c,d,e),即A所含的基本事件有6种，

故
，

即被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为
.

18.（1）证明：连结
，

∵三棱柱
的侧棱与底面垂直 ∴四边形
是矩形，

∴
为
的中点．

∵
是
的中点， ∴
是三角形
的中位线，

∴
∥
．

∵
平面
，
平面
，∴
∥平面
．

（2）解法一： 设点A到平面
的距离为h，

∵
平面

,

∴
,

∴△
为直角三角形，
为直角，

∴
,

由
得
.

【解法二：∵

,

∴
,

∴
,又∵
,

∴
平面
，∵
面

∴平面
平面
,

在平面
内过点A作
于E，则
平面

在直角三角形
中，∵
,

∴
.】

19.解：（1）设
的公比为
.

∵
成等差数列，

即
，化简得
，

解得：
或
由已知，

（2）由
得

，当且仅当
即
时等号成立，

实数
的取值范围是

【备选答案：19．解：（1）由已知可得
，消去
得：
，

解得
或
（不合题意舍去），

∴
，

（2）由（1）知：
.

∵
对任意的
恒成立,

即：
对任意的
恒成立，整理得：

对任意的
恒成立，即：
对任意的
恒成立.

∵
在区间
上单调递增，

.

的取值范围为
.】

20.解：（1）
，

椭圆
的方程为
.

（2）由
知，点M在以F为圆心，以1为半径的圆上，

由
知，MP为圆F的切线，M为切点，故|
,

当|PF|取最小值时，|PM|取最小值，

设
，则
，又
，当
时，
，所以
.

（3）由（1）知椭圆上下顶点坐标分别为
,

设点

（
，
），则直线
与
的方程分别为：

，
，

令
分别得
，

∴
，

又
得
，

∴
，

由切割线定理得：
,

即线段OT的长为定值且
.

21.解：（1）由
在
上是增函数

知
在
上恒成立
在
上恒成立

∴
，

∵函数
在
上单调递增 ∴
，

∴
，∴
的最大值为
.

(2)由（1）知
，且当
时，
在
上是增函数

∴
.

即函数
在
上为增函数，且

∴

即

（3）在上式中分别令
并相加得

∵
，

∴

=
，

即
.