2013-2014学年度第二学期高三三模联考

理科数学试题

命题学校：潮州金山中学

本试卷共4页，21题，满分150分。考试时间为120分钟。

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

参考公式:

标准差公式：

一、选择题（满分40分）

1.
是虚数单位，
（　　）

A．
　 　　 B．
　　　C．
　　　D．

2.命题“若α=
，则tanα=1”的逆否命题是（　　）

A.若α≠
，则tanα≠1 B. 若α=
，则tanα≠1

C. 若tanα≠1，则α≠
D. 若tanα≠1，则α=

3.
中，若
，则
的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

4．下列四个命题中，正确的是（ ）

A．已知命题
；命题
．

则命题“
”是真命题

B．已知
服从正态分布
，且
，则

C．设回归直线方程为
，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位

D．已知直线
,，则
的充要条件是

5.已知向量
且
,则
=（　　）

A．
B．0 C．
D．

6.在等差数列
中，已知
，则该数列前11项和
（　　）

(A)58 (B)88 (C)143 (D)176

7. 若函数
图像上存在点（x，y）满足约束条件
，则实数
的最大值为（　　）

A．
B.2 C.
D.1

8．对于正实数
，记M
为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：
且

＞
,有-
（
-
）＜f（
）-f（
）＜
（
-
）.下列结论正确的是（ ）

A.
w

B.
＞

C.若

D.

填空题（满分30分）

（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．

9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差
（克）（用数字作答）．

10．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

11.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得

辗转相除法．若输入
，
，则输出

．

（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”

或“：＝”）

12．过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点，点
是原点，若
，则
的面积为 .

13．非空集合
关于运算
满足：（1）对任意
、
，都有
；（2）存在
，使得对一切
，都有
，则称
关于运算
为“融洽集”。现给出下列集合和运算：

①
{非负整数}，
为整数的加法。

②
{偶数}，
为整数的乘法。

③
{平面向量}，
为平面向量的加法。

其中
关于运算
为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号）

（二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。

14.如图,在
中,
,
,

过
作
的外接圆的切线
,
,
与

外接圆交于点
,则CD的长为__________

在极坐标系中,点(2,
)到直线
的距离等于_______.

三、解答题（本大题共6小题，满分80分）

16．（本题满分12分）

已知函数
,其中常数
;

（I）若
图像与
图像交点的最小距离为
，求
的值；

（Ⅱ）若
，将
图像向右平移
，向上平移1个单位得到
图像，求
在区间
上的值域。

17．（本题满分12分）

我校从高一年级学生中随机抽取部分学生,

将他们的数学竞赛成绩分为6组:[40,50),

[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),

[90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布

直方图,

（I）根据频率分布直方图估计我校数学竞赛

成绩平均分；

（Ⅱ）我校高一（1）班有60名学生，根据频率

分布直方图，从80分以上的学生中任取2名学生，

记90分以上的人数为
，求
的分布列及数学期望。

18．（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
，
,

平面
，
分别是
的中点。

（I）证明：
；

（Ⅱ）若
为
上的动点，
与平面
所成

最大角的正切值为
，求二面角
的

余弦值。

19．（本小题满分14分）

设直线
,
,其中实数
满足
。

（I）证明
与
相交；

（Ⅱ）求
与
的交点
的轨迹
的方程；

（Ⅲ）过点
作直线
（与
轴不垂直）与轨迹
交于
两点，与
轴交于点
．若
，
，证明：
为定值．

20.（本小题满分14分）

设函数
和函数

（I）若函数
在定义域内为单调函数，求
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的极值点；

（Ⅲ）证明：

21．（本小题满分14分）

，数列
对任何正整数n都有：

（I）证明数列
为等比数列；

（Ⅱ）判断数列
是否是等差数列，若是请求出通项公式；若不是，说明理由．

（Ⅲ）若
,
证明：

2013-2014学年度第二学期高三三模联考

理科数学试题参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

C

B

B

B

D

A



二、填空题：

9、 2 10、
11、 1007 12、
13、 ①③

14、
15、 1

三、解答题：

16（本小题满分12分）

解：(1)由
图像与
图像交点的最小距离为
知
最小正周期为
……2分

所以
……………………………………………………3分

得
………………………………………………………4分

(2) 若
，则
…………………………………………………………5分

依题意可得
……………………………………7分

因为

所以
…………………………………………………8分

所以
………………………10分

所以
……………………………………………………11分

所以值域为
……………………………………………………12分

17（本小题满分12分）

解：(1)由图可知组距为10

根据频率分布直方图估计该市数学测试成绩平均分为

…………4分

(2) 根据频率分布直方图高一（1）班80分以上的学生有

人，90分以上有
人 …………………5分

的所有可能取值为0，1，2 ………………………………………………………6分

则
，…7分
, ……8分

, ……9分

所求分布列为

0

1

2













 ……………10分

数学期望为
………………………………12分

18（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）证明：由四边形
为菱形，
，

可得
，
为正三角形.

因为M为
的中点，所以
. …2分

又
∥
，因此
.

因为
平面
，
平面
，所以
. …4分

而
，所以
平面
. …5分

（Ⅱ）解法一：设
为
上任意一点，连接
、
.

由（Ⅰ）可知：
平面
.

则
为
与平面
所成的角. …7分

在
中，
，

所以当
最短时，
最大， …8分

即当
时，
最大，

此时

因此
.又
，

所以
，于是
. …9分

如图建立空间直角坐标系，则
,
，

，
，
，
，

则
,
，
，

设
的中点为
，则
，故
就是面
的法向量，
.

设平面
的法向量为
，二面角
的平面角为
.

由

…12分

，二面角
的余弦值为
. …14分

（Ⅱ）解法二：设
为
上任意一点，连接
、

由（Ⅰ）可知：
平面
.

则
为
与平面
所成的角. …7分

在
中，
，

所以当
最短时，
最大， …8分

即当
时，
最大，

此时
.

因此
.又
，

所以
，于是
. … 10分

因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
.

过
作
于
，则由面面垂直的性质定理可知：
平面