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2014年高中毕业班质量检测理科数学试卷 理科数学备课组 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为( ) (A).x=3,y=－1 (B).(3，－1) (C).｛3，－1｝ (D).｛(3，－1)｝ 2.a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝( ) (A)2 (B) (C) (D)1 3.运行下面的程序：当输入168，72时，输出的结果是( )
(A)168 (B)72 (C)36 (D)24 4. 已知命题p： n∈N，2n＞1 000，则 非p为( ) (A) n∈N，2n≤1 000 (B) n∈N，2n＞1 000 (C) n∈N，2n＜1 000 (D) n∈N，2n≥1 000 5. 已知等比数列{an}的前项积为n,若,则9=( ). A.512 B.256 C.81 D.16 6. 如图,设向量,,若＝λ＋μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )
7. 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ). A.f(x)=x+sinx B. C.f(x)=xcosx D. 8．定义： 离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”， 已知E： + =1（a>b>0）的一个焦点为F(c,0)(c>0)，则E 为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( ) (A)既不充分也不必要条件 (B)充分且必要条件 (C)充分不必要条件 (D)必要不充分条件 9函数 的零点所在的区间为( ) (A)(0，1) (B)(1，2) (C)(2，3) (D)(3，4)
10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则的取值范围是( ). A. B. C. D.(5,25) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分 11. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种. 12. 若 展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于____________. 13. 若直线与圆相交于A、B两点,则的值为
14. 若某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的侧面积= _________cm2. 15.已知函数 , 若数列{am}满足,且的前项和为,则= . 三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (13分) 某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为,数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m,n(m>n),且该同学3门课程都获得优秀成绩的概率为,该同学3门课程都未获得优秀成绩的概率为,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. (1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率. (2)记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ). 17. (13分)已知函数f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,a为常数),且是函数y=f(x)的零点. (1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,],求函数f(x)的值域,并写出f(x)取得最大值时x的值.
18. (13分) 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上. (Ⅰ）求证：PB⊥AC; (Ⅱ) 当PD=2AB,E在何位置时， PB平面EAC; (Ⅲ) 在（Ⅰ）的情况下，求二面E-AC-B的余弦值. 19(13分) 如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中两点坐标分别为（4，0）、（0，－2），连结． (1）求抛物线的函数关系式； (2）判断的形状，并说明理由； (3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
20 (14分) 20. （本小题满分14分） 已知函数，其中且 （Ⅰ）讨论的单调区间； （Ⅱ）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围; （Ⅲ）若存在，，使得，求证：. 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量. （Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵; （Ⅱ）计算A3的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程. 已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程是: (t为参数). (1)求曲线C的直角坐标方程,直线l的普通方程; (2)将曲线C横坐标缩短为原来的,再向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l距离的最小值. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x－4|+|x－3|, （Ⅰ）求f(x)的最小值m （Ⅱ）当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值. 数学(理科)试卷参考答案及评分标准 1 D 2 B 3D 4A 5A 6D 7C 8B 9B 10D 11. 186 12. 210 13. 0 14. 15π 15 8042 16. 【解析】设事件Ai表示:该生语文、数学、英语课程取得优秀成绩,i=1,2,3. 由题意可知P(A1)=,P(A2)=m,P(A3)=n. (1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“该生3门课程都未获得优秀成绩”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 1-P(ξ=0)=1-=……………………………..6分 (2)由题意可知,P(ξ=0)=P(··)=(1-)(1-m)(1-n)=. P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)=mn=. 又m>n, 解得m=,n=. P(ξ=1)=P(A1··+·A2·+··A3)=. P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以数学期望 E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=………13分 17. 【解析】(1)由于是函数y=f(x)的零点, 即x=是方程f(x)=0的解, 从而f()=sin+acos2=0, 则1+a=0,解得a=-2. 所以f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1, 则f(x)=sin(2x-)-1, 所以函数f(x)的最小正周期为π………………..6分 (2)由x∈[0,],得2x-∈[-,], 则sin(2x-)∈[-,1], 则-1≤sin(2x-)≤, -2≤sin(2x-)-1≤-1, ∴函数f(x)的值域为[-2,-1]. 当2x-=2kπ+(k∈Z), 即x=kπ+π时,f(x)有最大值, 又x∈[0,],故k=0时,x=π, f(x)有最大值-1. ………………………………………13分 18【答案】以D为原点DA、DC、DZ分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系 设 则， (Ⅰ）∵ =,= ∴==0 ∴AC⊥PＣ………………………………………………4分 (Ⅱ）当ＰＤ＝２ＡＢ时，， 由（Ⅰ）知⊥，故只要即可 设,，则 ，∴ ∴ 由得=0 ∴ 所以，PB平面EAC;……………………………8分 (Ⅲ）由（Ⅱ）知,设,则 ， ∴等于二面E-AC-B的平面角 ∴， ∴ ∴二面角E-AC-B的余弦值为…………………………………..13分 .19【答案】（1）．……………………….3分 (2）是直角三角形． 证明：令，则． ．． ． ． 是直角三角形．………………………………….7分 (3）能． 当矩形两个顶点在上时，如图1，交于． ，．． 设，则，， ． =． 当时，最大．． ，． ，． 当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2， ，．． 设，， ． =． 当时，最大． ， ．
综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）； 当矩形一个顶点在上时，坐标为 …………………………..13分 20. 解:(I)f(x)的定义域为. 其导数………1分 ①当时,,函数在上是增函数;…………2分 ②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,． 所以在是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当时, 取， 则, 不合题意. 当时令,则………6分 问题化为求恒成立时的取值范围. 由于 ………7分 在区间上,;在区间上,. 的最小值为,所以只需 即,,………9分 (Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以 构造函数:() ………11分 则 所以函数在区间上为减函数. ,则, 于是,又,,由在上为减函数可知.即…………………14分 21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换 解: (Ⅰ)法一:依题意,.. ………… 2分 所以…………4分 (Ⅱ):=2－…………5分 A3=2×63－13=…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程. 解.(1)将曲线C:ρ=4cosθ化为普通方程为(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程是x-y+2=0………………………………………3分 (2)将曲线C:(x-2)2+y2=4横坐标缩短为原来的,得到曲线的方程为(2x-2)2+y2=4,即4(x-1)2+y2=4,再向左平移1个单位,得到曲线C1的方程为4x2+y2=4,即x2+=1. 设曲线C1上的任意一点为(cosθ,2sinθ), 它到直线l的距离为d= =. ∵≤|2-sin(θ+)|≤3,故≤d≤…………………..7分 (3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 解:(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1, 故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分 法2:.------------------1分 x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1,----------------3分 故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分 (Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5分 故a2+b2+c2≥-…………6分 当且仅当时取等号…………7分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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