一选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

若复数
（为实数，为虚数单位）是纯虚数，则

A.7 B.-7 C.
D.

2. 设P和Q是两个集合，定义集合
，如果

，
，那么
等于（ ）

A.
B.

C.
D.

3．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于

A．4

B．3

C．2

D．

已知命题
，使
为偶函数；命题

，则下列命题中为真命题的是

A.
B.
C.
D.

5．从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（ ）

A. 480 B. 481 C. 482 D. 483

6．已知数列
是等比数列，且
，则
的值

为（ ）

A .
B .
C . D .

7已知
为坐标原点，为抛物线
的焦点，为
上一点，若
，

则△
的面积为

A.2 B.
C.
D.4

8现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要

求这 3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为(　　)

A.232 B.252 C.472 D.484

9．已知二次函数
的导函数为
，且
＞0，
的图象与x

轴恰有一个交点，则
的最小值为 (　　 )

A．3 B． C．2 D．

二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.

11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中,以原点
为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
的直线与曲线
（为参数）相交于
两点,则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

11．（2）（不等式选做题）若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）

A .
B .
C .
D .
[

三、填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）

12、设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c等于______

13.运行如图的程序框图,输出的结果是______

14．已知直线
及直线
截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是 ▲ ．

15．在平面直角坐标系中，设点
，其中O为坐标原点，对于以下结论：

①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；

②设P为直线
上任意一点，则[OP]的最小值为1；

③设P为直线
上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”

的必要不充分条件是“
”.

其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.

四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知
，
，其中ω＞0．设函数f(x)＝
，且函数f(x)的周期为π．

(Ⅰ) 求ω的值；

(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，当f(B)＝1时，判断△ABC的形状．

17. （本小题满分12分） 通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：

空气质量

一级

二级

超标



日均值(微克/立方米)

35以下

35～75

75以上



某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

PM2.5日均值(微克/立方米)

(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．

18．（本题满分12分）如图所示，
⊥平面
，△
为等边三角形，
，
⊥
，

为
中点．

（I）证明：
∥平面
；

（II）若
与平面
所成角的正切值 为
，求二面角-
-
的正切值．

19 已知数列{
}的前n项和
(n为正整数)。

(I)令
，求证数列{
}是等差数列，并求数列{
}的通项公式；

(Ⅱ)令
，
试比较
与
的大小，并予以证明．

20. (本小题满分13分) 已知
为椭圆的左右焦点，点
为其上一点，且有

（I）求椭圆
的标准方程；

（II）过
的直线
与椭圆交于
两点，过
与
平行的直线
与椭圆交于
两点，求四边形
的面积
的最大值.

南昌市八一中学2014届高三理科数学模拟测试卷参考答案

一选择题：1A2B3D4C5C6A7C8C9C10D

二、选做题：111D2D

三、填空题12.2 13_510 14
15①③

四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．【解析】：(Ⅰ)∵m＝
，n＝
（ω＞0），

∴f(x)＝m·n＝
…………………………………………2分

∴
．

∵函数f(x)的周期为π，∴
．…………………………………………5分

(Ⅱ)在△ABC中
∴
．………………………6分

又∵0＜B＜π，∴
＜2B＋
＜
．∴2B＋
＝
．∴B＝
．………………8分

∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c．…………………………………………………9分

∴cosB＝cos
＝
, ∴
．

化简得a＝c，……………………………………………………………………………11分

又∵B＝
，∴△ABC为正三角形．…………………………………………………12分

17、解　(1)从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级”为事件A，

则P(A)＝1－＝.

(2)ξ的可能值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P











E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝1或E(ξ)＝3×＝1(超几何分布)．

18．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．

依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD． …………2分

又因为BM(平面PCD，CD(平面PCD，所以BM∥平面PCD． …………5分

（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，

所以CD⊥平面PAC，故PD与平面

PAC所成的角即为∠CPD．

……………5分

不妨设PA=AB=1，则PC=
．

由于
，

所以CD=
．……………8分

（方法一）

在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．

又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角．

易知PE=3EC，ME=
，EF=
，

所以tan∠EFM=
，

即二面角C-PD-M的正切值是
．

……………12分

（方法二）

以A点为坐标原点，AC为x轴，建立

如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．

则P（0,0,1），

M（
），C（1,0,0），D
．

则
，
，
．

若设
和
分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则
，可取
．

由
，可取
．

所以
，

由①-②得

………………………9

……………………………………11

于是确定
的大小关系等价于比较
的大小

．．．．．．

猜想：当
证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由猜想显然成立．

（2）假设
时猜想成立．即

则
时，

所以当
时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切
的正整数，都有

证法2：当
时

综上所述，当

，当
时
………………………12

20 解：（I）设椭圆的标准方程为

由已知
得
，
……………………2分

又点
在椭圆上，

椭圆的标准方程为
……………………5分

（II）由题意可知，四边形
为平行四边形
=4

设直线
的方程为
，且

由
得

……………………6分

=
+
=

=

=

=
………………9分

令
，则

=
=
，……… 11分

又
在
上单调递增

的最大值为

所以
的最大值为6. ………………………………13分

21.解：（Ⅰ）当
时，
，定义域

.……………………1分

，又
，

在
处的切线方程
…………………………2分

（Ⅱ）（ⅰ）令
=0

则

即
…………………………4分

令
，

则

令

，

，
在
上是减函数…………………6分

又
，

所以当
时，
，当
时，
，

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，

，

所以当函数
有且仅有一个零点时
…………………8分

（ⅱ）当
，
，若
，
，只需证明
，

，

令
得
………………11分

又
，

函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增

又
，

即

………………14分