广东省韶关市2014届高三4月高考模拟（二模）

数学试题(文科)

本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟.

注意事项：

考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；

选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；

3．考试结束，考生只需将答题卷交回.

4.　 参考公式:圆柱侧面积公式
，其中底面半径，
为圆柱的母线.

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 已知集合
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

２.是虚数单位, 复数
，则复数在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 　C．第三象限 D．第四象限

3. 在某次测量中得到的样本数据如下：82、84、84、86、86、86、88、88、

88、88.若样本数据恰好是样本数据每一个数都加2后所得数据，则、

两个样本的下列数字特征对应相同的是

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差

4．设
，则函数
的零点位于区间

A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

5．执行如图所示的程序框图,若输出的结果是
,则判断框内的条件是

A．
? B．
? C．
D．

6．由于工业化城镇化的推进，大气污染日益加重，空气质量逐步恶化，雾霾天气频率增大，大气污染可引起心悸、胸闷等心脏病症状.为了解某市患心脏病是否与性别有关，在某医院心血管科随机的对入院50位进行调查得到了如右的列联表：问有多大的把握认为是否患心脏病与性别有关. 答：．

A．95% B．99% C．99.5% D．99.9%

患心脏病

不患心脏病

合计



男

20

5

25



女

10

15

25



合计

30

20

50



参考临界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
其中n = a + b + c + d）．

7．某个几何体的三视图如右上图（其中正视图中的圆

弧是半圆）所示,则该几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

8.　等差数列
中，
，
，若前项和
取得最大，则

A.
B.
C. D.

9. 给出如下四个判断：

①
；②
；

③设
是实数，
是
的充要条件 ; ④命题“若则”的逆否命题是若
,则
.

其中正确的判断个数是：

A．１ B．２ C．３ D．４

10．已知函数
，若
，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11. 已知向量
，
．若向量与
共线，则实数
_______________

12．抛物线
上的点
到其焦点的距离
,则点
的坐标是_____________

13．一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是__________海里．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）曲线
极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线
的参数方程为
（为参数），则曲线
上的点到直线
的距离的最小值为 .

15.（几何证明选讲选做题） 如图，
是半径为
的⊙
的直径，
是弦，
，
的延长线交于点，
，则
.

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本题满分12分)

已知函数

（1）求
的值；

（2）已知
，求函数
的值域.

17. (本题满分12分)

为调查民营企业的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法从A、B、C三个城市中，抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究，有关数据见下表：（单位：个）

城市

民营企业数量

抽取数量



A



4



B

28





C

84

6





（1）求、的值；

（2）若从城市A与B抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研，求这2个都来自城市A的概率.

18.（本题满分14分

如图1，直角梯形
中, 四边形
是正方形,
,
.将正方形沿
折起，得到如图２所示的多面体,其中面
面
,
是
中点．

(1) 证明：
∥平面
；

(2) 求三棱锥
的体积.

图１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图２

19.（本题满分14分）

已知椭圆 的离心率为
，过
的左焦点
的直线
被圆
截得的弦长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
的右焦点为
，在圆
上是否存在点，满足
，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.

20．（本题满分14分）

已知正项数列
中，其前项和为
，且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
，求证：
；

（3）设为实数，对任意满足成等差数列的三个不等正整数
，不等式
都成立，求实数的取值范围.

21．(本题满分14分)

已知函数
，
．

（1）若
的极大值为
，求实数的值；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数的取值范围；

(3)若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x0，使f（x0+k）= f（x0)+ f（k）(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”. 设
，若
关于实数a 可线性分解，求取值范围.

广东省韶关市2014届高三4月高考模拟（二模）

数学(文科)参考答案与评分标准

一．选择题： DADCC CAAAC

1. 解析：
,

，选D.

2. 解析：
对应点在第一象限 , 选A.

3. 解析：由方差意义可知，选D.

4. 解析：
，选C.

5. 解析：第一次循环，
，不满足条件，循环。第二次循环，
，不满足条件，循环。第三次循环，
，不满足条件，循环。第四次循环，
，满足条件，输出。所以判断框内的条件是
，选C.

6. 解析:
，

又
，所以我们有 99.5%的把握认为患心脏病与性别有关系. 选C.

7. 解析： 三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体，其中，长方体的上底面与“半圆柱”轴截面重合.
,选A.

8. 解析: 由得到
　
，是正整数，
，选A.

9. 解析：任意
，①不正确；
时，
，②不正确；

不能得到
，③不正确；④正确. 选A.

10. 解析:　由偶函数定义可得
是偶函数，故
，原不等式等价于
，又根据偶函数定义，

，函数
在
单调递增，
，
．或利用图象求范围．选C.

二.填空题：11.
; 12.
; 13.
; 14.
; 15.

11.解析：由
可得，
　　

12.解析:　设点
，曲线准线
，再抛物线定义，
，
，所以

13. 解析:　
,
中，由正弦定理，

14.解析：曲线
直角坐标方程　
，直线
：

圆心到直线距离
，所以，曲线
上点到
的距离的最小值

１5. 解析：由割线定理知
，
，
，得

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本题满分12分)

解：（1）

….2分

4分

6分

（2）

，



8分

，


10分

，即
的值域是



12分

17．(本题满分12分)

解：（1）由题意得
,………………………………………………4分

所以
,
……………………………………………………………………6分

（2）记从城市A所抽取的民营企业分别为
，从城市B抽取的民营企业分别为
. 则从城市A、B抽取的6个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有

,
,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
,
,
,
共15个………………………………8分

其中，来自城市A:
,
,
,
,
,
共６个………10分

因此
.故这2个都来自城市A的概率为
.………12分

18. (本题满分14分)

(1)证明：取
中点
，连结
．在△
中，
分别为
的中点，所以
∥

．由已知
∥
，
，所以
∥
，且
．所以四边形
为平行四边形，所以
∥
．………３分

又因为
平面
，且
平面
，

所以
∥平面
．…………………4分

（２）面
面
，
面
，

面
面
，
，
面

又
面
，

…………………6分

梯形
中，
,
，
,

所以，
,
,

,所以,
平面
…………………8分

又
平面
,所以，平面
平面
　

作

,则
平面
，
是所求三棱锥高…………………10分

在直角三角形
中，由面积关系可得
，又

所以，
……………………………………14分

另解：
∥
,
面
,
面
,
∥平面
,

两点到平面
距离相等…………………7分

因为翻折后垂直关系不变，所以
平面
,
是三棱锥
高……9分

面
面
，
面
，面
面
，
，
面
，

,
是直角三角形………………11分

　
…14分

19.(本题满分14分)

解：因为直线
的方程为
，

令
，得
，即
………………………………1分

∴
，又∵
，

∴
，

∴ 椭圆
的方程为
.………………………………………４分

（2）∵ 圆心
到直线
的距离为
，

又直线
被圆
截得的弦长为
，

∴由垂径定理得
，

故圆
的方程为
.………………………………８分

设圆
上存在点
，满足
即
，

且
的坐标为
，

则
， 整理得
，它表示圆心在
，半径是
的圆。

∴
………………………………………１２分

故有
，即圆
与圆
相交，有两个公共点。

∴圆
上存在两个不同点，满足
.………………………１４分

20．(本题满分14分)

解：（1）法一：由
得

当
时，
，且
，故
………………………１分

当
时，
，故
，得
，

∵正项数列
，

∴

∴
是首项为，公差为的等差数列.…………………………………４分

∴
，

∴
.………………………………………………………5分

法二：

当
时，
，且
，故
………………………………1分

由
得
，

当
时，

∴


，整理得

∵正项数列
，
，

∴
，………………………………………………………………4分

∴
是以为首项，为公差的等差数列，

∴
.…………………………………………………………………………5分

（2）

∴

∴

∴两式相减得

……………………………………………………8分

∵
，∴

∵
∴

∴
…………………………………………………………………………10分

（3）∵ 不等正整数
是等差数列，

∴
，

∴
，…………………………………11分

又
，

∴

故实数的取值范围为
.……………………………………………………14分

21．(本题满分14分)

解：（1）由
，得
，

令
，得
或
．……………………………………………………2分

当变化时，
及
的变化如下表：















-



+



-





↘

极小值

↗

极大值

↘



所以
的极大值为
=
，

．…………………………………………………………………………4分

（2）由
，得
．

，且等号不能同时取，

，即

恒成立，即
……………………………………6分

令
，求导得，
，

当
时，
，从而
，

在
上为增函数，

，

．…………………………………………………………………9分

（3）证明：

由已知，存在
，使
关于实数a 可线性分解，则
，

即：


……………10分

，
……………1………………………………………12分

因为
所以
……………………………………………………14分